材料物理性能及测试

材料物理性能及测试化学与材料工程系第0章绪论材料性能的定义材料性能是一种用于表征材料在给定的外界条件下的行为的参量★有多少行为，就对应地有多少性能。★

外界条件不同，相同的材料也会有不同的性能。★

性能必须量化，多数的性能都有量纲。从定义可以看出：物理性能力学性能化学性能

复杂性能

材料性能的划分①复合性能②工艺性能③使用性能

①抗氧化性②耐腐蚀性③抗渗入性①强度②延性③韧性④刚性①热学性能②声学性能③光学性能④电学性能⑤磁学性能⑥辐照性能按材料性能（功能）分类

机械性能高强材料、超硬材料、耐磨材料、韧性材料、摩擦材料等热学性能耐火材料、绝热材料（保温材料）、传热材料、防火材料等化学性能耐腐蚀材料、防水材料、吸附材料、离子交换材料、催化剂载体、胶凝材料等光学性能电光材料、导光材料、透光材料、荧光材料、发光材料、感光材料、分光材料等电学性能绝缘材料、介电材料、压电材料、铁电材料、超导材料、半导体材料等

磁学性能磁性材料声学性能隔声材料、吸音材料等核物理性能放射性材料、反应材料等生物性能骨科材料、齿科材料、生物陶瓷等

复合性能智能材料、梯度功能材料等材料性能研究的重要性

1.材料性能的研究，贯穿于整个人类的文明史此图片说明人类使用的材料，决定了人类的文明程序，实质上，这里谈的主要是材料的性能。材料性能研究的重要性

2.材料性能决定了材料用途如：绝缘基板材料，首先必须要具有一定的强度，以便能够承载起安装在其上的集成电路元件及布在其上的电路线，要有均匀而平滑的表面，以便进行穿孔、开槽等精密加工，从而能够构成细微而精密的图形，应有优良的绝缘性能(尤其是在高频下)，要有充分的导热性，以迅速散发电路上因电流产生的热，硅与基片的热膨胀系数之差应较小，从而保证基片与电路间良好的匹配性，电路与基片就不会剥离

3.材料性能的研究，有助于研究材料的内部结构

如：根据nλ=2dsinθ，利用晶体对X-ray的衍射图象，就可以推知晶体中面网间距d，进而就可以分析晶体的结构。结构决定了性能，而性能则是内部结构某些方面的体现。

4.对陶瓷材料性能的要求，决定了陶瓷材料生产的工艺过程。如：石器：坚硬，但难成型 陶器：容易成型，但很不坚硬。目标是：既要容易成型，又要具有坚硬的特征。→提高质量，这就是矛盾的统一体。解决改进的途径，由所要求的性能来决定。

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材料性能的研究，既是材料开发的出发点，也是其重要归属。

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材料性能的研究，有助于研究材料的内部结构。

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对材料性能的要求，决定了材料生产工艺。材料性能研究目的

现象与本质

同一材料不同性能只是相同的内部结构，在不同的外界条件下所表现出的不同行为。

这也说明，不同的外界条件下，材料的性能是不同的，即一种材料有多种性能。材料性能研究注意问题

材料性能的划分只是为了学习和研究的方便。要注意材料间的各种性能既有区别，又有联系。材料性能研究注意问题

研究材料性能，要注意性能的复合与转换。材料性能研究注意问题

研究材料性能，要注意性能的发展与改造。陶瓷科学与技术是研究无机非金属材料合成与制备、组成与结构、性能与使用效果四者关系的科学。使用效能性能组成与结构合成与制备工艺材料科学与工程研究对象间的关系陶瓷科学偏重于研究材料的合成与制备、组成与结构、性能及使用效能各组元本身及其相互关系.。陶瓷工程则着重于研究如何利用这些规律性的研究成果去研制、开发关生产新材料、新产品。陶瓷材料的特点：塑性差、硬度高、加工性能差。制备特点：不是生产大量不同品种与规格的原料材料，而是直接生产成产品走向市场。要求更高：具备材料的知识，还要具备机械设计与机械加工的知识。要强调跨学科。综合性的科学与工程方面的研究。陶瓷材料在工程应用中应注意的问题：

脆性大、塑韧性低：要注意低应力下的失效，注意安全性与可靠性。

成本与应用：仅数千元的铁质柴油机，若用全陶瓷，其价格要提高2～3个数量级。

强度设计与材料的合理使用：抗拉强度差，但抗压强度却很高。要尽可能地用其长处。我国陶瓷发展简史－－陶器经验方法在大量占有实验数据的基础上，对数据的分析处理，整理为经验方程，用以表示它们的函数关系。

学习研究方法理论方法从机理着手，即从反映本质的基本关系出发，按照性能的有关规律、建立物理模型，用数学方法求解，得到有关理论方程式。

学习研究方法课前预习：包括一些普通物理知识；要认真作笔记：能力+考核；自己完成作业，检验学习的效果+考核。注意复习和阅读相关文献，撰写相关专业论文。要求：1.力学性能：应力、应变、脆性断裂、强度等。2.热学性能：热容、热膨胀、热传导、热稳定性等。3.光学性能：透光性、反射性、颜色等。4.电学性能：导电性和介电性。5.磁学性能：磁性理论和铁氧体的磁性与结构。

学习内容该课共32个学时

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晶体结构：原子规则排列，主要体现是原子排列具有周期性，或者称长程有序。有此排列结构的材料为晶体。晶体中原子、分子规则排列的结果使晶体具有规则的几何外形，X射线衍射已证实这一结论。非晶体结构：不具有长程有序。有此排列结构的材料为非晶体。了解固体结构的意义：固体中原子排列形式是研究固体材料宏观性质和各种微观过程的基础。晶体结构固体的结构分为：非晶体结构多晶体结构1.1晶体结构1.1.1空间点阵1.1.2密勒指数1.1.3倒格子晶体内部结构概括为是由一些相同点子在空间有规则作周期性无限分布，这些点子的总体称为点阵。（该学说正确地反映了晶体内部结构长程有序特征，后来被空间群理论充实发展为空间点阵学说，形成近代关于晶体几何结构的完备理论。）1.1.1空间点阵一、布喇菲的空间点阵学说关于结点的说明：

当晶体是由完全相同的一种原子组成，结点可以是原子本身位置。当晶体中含有数种原子，这数种原子构成基本结构单元（基元），结点可以代表基元重心，原因是所有基元的重心都是结构中相同位置，也可以代表基元中任意点子结点示例图1.点子空间点阵学说中所称的点子，代表着结构中相同的位置，也为结点，也可以代表原子周围相应点的位置。晶体由基元沿空间三个不同方向，各按一定的距离周期性地平移而构成，基元每一平移距离称为周期。在一定方向有着一定周期，不同方向上周期一般不相同。基元平移结果：点阵中每个结点周围情况都一样。2.点阵学说概括了晶体结构的周期性3.晶格的形成通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族和平行的晶面族，点阵成为一些网格------晶格。

平行六面体原胞概念的引出：

由于晶格周期性，可取一个以结点为顶点，边长等于该方向上的周期的平行六面体作为重复单元，来概括晶格的特征。即每个方向不能是一个结点（或原子）本身，而是一个结点（或原子）加上周期长度为a的区域，其中a叫做基矢。这样的重复单元称为原胞。原胞（重复单元）的选取规则

反映周期性特征：只需概括空间三个方向上的周期大小，原胞可以取最小重复单元（物理学原胞），结点只在顶角上。反映对称性特征：晶体都具有自己特殊对称性。结晶学上所取原胞体积不一定最小，结点不一定只在顶角上，可以在体心或面心上（晶体学原胞）；原胞边长总是一个周期，并各沿三个晶轴方向；原胞体积为物理学原胞体积的整数倍数。引出物理学原胞的意义：三维格子的周期性可用数学的形式表示如下：T(r)=T(r+l1a1+l2a2+l2a3)r为重复单元中任意处的矢量；T为晶格中任意物理量；l1、l2、l3是整数，a1、a2、a3是重复单元的边长矢量。为进行固体物理学中的计算带来很大的方便。位矢RrR+r布喇菲点阵的特点：每点周围情况都一样。是由一个结点沿三维空间周期性平移形成，为了直观，可以取一些特殊的重复单元（结晶学原胞）。

完全由相同的一种原子组成，则这种原子组成的网格为不喇菲格子，和结点所组成的网格相同。

晶体的基元中包含两种或两种以上原子，每个基元中，相应的同种原子各构成和结点相同网格----子晶格（或亚晶格）。

复式格子（或晶体格子）是由所有相同结构子晶格相互位移套构形成。4.结点的总体------布喇菲点阵或布喇菲格子晶体格子（简称晶格）：晶体中原子排列的具体形式。原子规则堆积的意义：把晶格设想成为原子规则堆积，有助于理解晶格组成，晶体结构及与其有关的性能等。二、晶格的实例1.简单立方晶格2.体心立方晶格3.原子球最紧密排列的两种方式特点：层内为正方排列，是原子球规则排列的最简单形式；原子层叠起来，各层球完全对应，形成简单立方晶格；这种晶格在实际晶体中不存在，但是一些更复杂的晶格可以在简单立方晶格基础上加以分析。原子球的正方排列简单立方晶格典型单元••••••••1.简单立方晶格简单立方晶格的原子球心形成一个三维立方格子结构，整个晶格可以看作是这样一个典型单元沿着三个方向重复排列构成的结果。••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••简单立方晶格单元沿着三个方向重复排列构成的图形2.体心立方晶格•••••••••体心立方晶格的典型单元排列规则：层与层堆积方式是上面一层原子球心对准下面一层球隙，下层球心的排列位置用A标记，上面一层球心的排列位置用B标记，体心立方晶格中正方排列原子层之间的堆积方式可以表示为：ABABABAB…体心立方晶格的堆积方式体心立方晶格的特点：为了保证同一层中原子球间的距离等于A-A层之间的距离，正方排列的原子球并不是紧密靠在一起；由几何关系证明，间隙=0.31r0，r0为原子球的半径。具有体心立方晶格结构的金属：Li、Na、K、Rb、Cs、Fe等，密排面：原子球在该平面内以最紧密方式排列。堆积方式：在堆积时把一层的球心对准另一层球隙，获得最紧密堆积，可以形成两种不同最紧密晶格排列。ABABAB排列（六角密排晶格）ABCABCABC排列（立方密堆）3.原子球最紧密排列的两种方式前一种为六角密排晶格，（如Be、Mg、Zn、Cd），后一种晶格为立方密排晶格，或面心立方晶格（如Cu、Ag、Au、Al）面心立方晶格（立方密排晶格）面心（111）以立方密堆方式排列面心立方晶体（立方密排晶格）六方密堆晶格的原胞、布喇菲格子与复式格子把基元只有一个原子的晶格，叫做布喇菲格子；把基元包含两个或两个以上原子的，叫做复式格子。注：如果晶体由一种原子构成，但在晶体中原子周围的情况并不相同（例如用X射线方法，鉴别出原子周围电子云的分布不一样），则这样的晶格虽由一种原子组成，但不是不喇菲格子，而是复式格子。原胞中包含两个原子。1.氯化钠结构表示钠表示氯钠离子与氯离子分别构成面心立方格子，氯化钠结构是由这两种格子相互平移一定距离套购而成。2.氯化铯结构表示Cs

。

表示Cl3.钙钛矿型结构•°••••••••°°表示Ba°表示O•表示Ti结晶学原胞氧八面体••••••••°°••••••••°°••••••••°°••••••基元中任意点子或结点作周期性重复的晶体结构复式原胞重复的晶体结构••••••••••••••••••••••••••••••••°°••••••••°°••••••••°°••••••••••••••°°五个子晶胞°°°°注：结点的概念以及结点所组成的布喇菲格子的概念，对于反映晶体中的周期性是很有用的。基元中不同原子所构成的集体运动常可概括为复式格子中各个子晶格之间的相对运动。固体物理在讨论晶体内部粒子的集体运动时，对于基元中包含两个或两个以上原子的晶体，复式格子的概念显得重要，四、结晶学原胞与固体物理学原胞间的相互转化•••••••••••••••••••••••••••••••简立方体立方面心立方立方晶系布喇菲原胞原胞的基矢为：

a1=ia,a2=ja,a3=ka结晶学中，属于立方晶系的布喇菲原胞有简立方、体心立方和面心立方。1.简立方2.体心立方固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系：

a1=(-i+j+k)a\2a2=(k+i-j)a\2a3=(i+j-k)a\2体积关系：结晶学原胞的体积是物理学原胞的2倍。原因是结晶学原胞中含有两个原子，而物理学原胞中含有一个原子。R=l1a1+l2a2+l2a3R=2a1+a2+a3R物理=a2+a3R结晶=(1/2)a+(1/2)a+a=(1/2)(a+a+2a)3.面心立方a1a2a34.六角密堆固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系：

a1=(j+k)a\2a2=(k+i)a\2a3=(i+j)a\2体积关系：结晶学原胞的体积是物理学原胞的4倍。原因是结晶学原胞中含有4个原子，而物理学原胞中含有一个原子。1.1.2密勒指数一、晶列

通过任意两个格点连一直线，则这一直线包含无限个相同格点，这样的直线称为晶列，也是晶体外表上所见的晶棱。其上的格点分布具有一定的周期------任意两相邻格点的间距。晶列的特点：（1）一族平行晶列把所有点包括无遗。（2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。（3）通过一格点可以有无限多个晶列，其中每一晶列都有一族平行的晶列与之对应。（4）有无限多族平行晶列。-。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

晶面的特点：（1）通过任一格点，可以作全同的晶面与一晶面平行，构成一族平行晶面.（2）所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏；（3）一族晶面平行且等距，各晶面上格点分布情况相同；（4）晶格中有无限多族的平行晶面。二、晶面三、晶向一族晶列的特点是晶列的取向，该取向为晶向；同样一族晶面的特点也由取向决定，因此无论对于晶列或晶面，只需标志其取向。注：为明确起见，下面仍只讨论物理学的不喇菲格子。任一格点A的位矢Rl为

Rl=l1a1+l2a2+l3a3式中l1、l2、l3是整数。若互质，直接用他们来表征晶列OA的方向（晶向），这三个互质整数为晶列的指数，记以[l1，l2，l3]同样，在结晶学上，原胞不是最小的重复单元，而原胞的体积是最小重复简单整数倍，以任一格点o为原点，a、b、c为基矢，任何其他格点A的位矢为kma+knb+kpc其中m、n、p为三个互质整数，于是用m、n、p来表示晶列OA的方向，记以[nmp]。1.晶列指数（晶列方向的表示方法）ORlAa1a2a3表示晶面的方法，即方位：在一个坐标系中用该平面的法线方向的余弦；或表示出这平面在座标轴上的截距。a1a2a3设这一族晶面的面间距为d，它的法线方向的单位矢量为n，则这族晶面中，离开原点的距离等于d的晶面的方程式为：

R•n=d为整数；R是晶面上的任意点的位矢。R2.密勒指数（晶面方向的表示方法）设此晶面与三个座标轴的交点的位矢分别为ra1、sa2、ta3,代入上式，则有

ra1cos(a1,n)=d

sa2cos(a2,n)=dta3cos(a3,n)=da1、a2、a3取单位长度，则得cos(a1,n)：cos(a2,n)：cos(a3,n)=1\r：1\s：1\t结论：晶面的法线方向n与三个坐标轴（基矢）的夹角的余弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。已知一族晶面必包含所有的格点，因此在三个基矢末端的格点必分别落在该族的不同的晶面上。设a1、a2、a3的末端上的格点分别在离原点的距离为h1d、h2d、h3d的晶面上，其中h1、h2、h3都是整数，三个晶面分别有

a1•n=h1d,a2•n=h2d,a3•n=h3dn是这一族晶面公共法线的单位矢量，于是

a1cos(a1,n)=h1d

a2cos(a2,n)=h2da3cos(a3,n)=h3d证明截距的倒数之比为整数之比cos(a1,n)：cos(a2,n)：cos(a3,n)=h1：h2：h3结论：晶面族的法线与三个基矢的夹角的余弦之比等于三个整数之比。可以证明：h1、h2、h3三个数互质，称它们为该晶面族的面指数，记以（h1h2h3）。即把晶面在座标轴上的截距的倒数的比简约为互质的整数比，所得的互质整数就是面指数。几何意义：在基矢的两端各有一个晶面通过，且这两个晶面为同族晶面，在二者之间存在hn个晶面，所以最靠近原点的晶面（=1）在坐标轴上的截距为a1/h1、a2/h2、a3/h3,同族的其他晶面的截距为这组截距的整数倍。实际工作中，常以结晶学原胞的基矢a、b、c为坐标轴来表示面指数。在这样的坐标系中，标征晶面取向的互质整数称为晶面族的密勒指数，用(hkl)表示。例如：有一ABC面，截距为4a、b、c,截距的倒数为1/4、1、1，它的密勒指数为（1，4，4）。另有一晶面，截距为2a、4b、c,截距的倒数为1/2、1/4、0，它的密勒指数为（2、1、0）。简单晶面指数的特点：

晶轴本身的晶列指数特别简单，为[100]、[010]、[001]；

晶体中重要的带轴的指数都是简单的；

晶面指数简单的晶面如（110）、（111）是重要的晶面；

晶面指数越简单的晶面，面间距d就越大，格点的面密度大，易于解理；

格点的面密度大，表面能小，在晶体生长过程中易于显露在外表；对X射线的散射强，在X射线衍射中，往往为照片中的浓黑斑点所对应。1.1.3倒格子条件：X射线源、观测点与晶体的距离都比晶体的线度大的多，入射线和衍射线可看成平行光线；散射前后的波长不变,且为单色。一、从X射线衍射方程反射公式引出倒格矢概念CO=-Rl·S0OD=Rl·S衍射加强条件：Rl·（S－S0）=有：ko=(2/)S0k=(2/)S得：Rl·（k－k0）=2设：k－k0=nKhk－k0=nKh的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个Kh（倒格矢）时，满足衍射加强条件，n为衍射级数。1.衍射方程CRlD衍射线单位基矢SOA入射线单位基矢S0晶面2.反射公式|k－k0|=2|S/

-S0/

|

=(4/)sin|k－k0|

=|nKh|=2n/dh1h2h3

|

Kh|=2/dh1h2h3PATAPQQSd入射线与反射线之间的光程差：=SA+AT=2dsin满足衍射方程：2dh1h2h3sin=nk－k0kk0设一晶格的基矢为a1、a2、a3，有如下的关系：b1=

2(a2a3)\说明b1垂直于a2和a3所确定的面；

b2=2(a3a1)\说明b2垂直于a3和a1所确定的面

b3=2(a1a2\说明b3垂直于a1和a2所确定的面

式中：=a1·(

a2a3)为晶格原胞的体积。二、倒格子的概念1.倒格子的数学定义倒格子：以b1、b2、b3为基矢的格子是以a1、a2、a3为基矢的格子的倒格子。（1）正格子基矢和倒格子基矢的关系2.正格子与倒格子的几何关系=2(i=j)ai·bj=2ij

=0(ij)证明如下：a1·b1=2

a1·(

a2a3)/a1·(

a2a3)=2

因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有：

a2·b1=0a3·b1=0

（2）除（2）3因子外，正格子原胞体积和倒格子原胞体积*互为倒数。

*=b1·(

b2b3)=(2）3/

表示正格点表示倒格点ABC为一族晶面（h1h2h3）中的最靠近原点的晶面，与kh垂直a1a2a3BCAkha1/h1a3/h3a2/h2（3）正格子中一族晶面（h1h2h3）和倒格矢

kh=h1b1+h2b2+h3b3正交，即晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标.由（3）、（4）可知，一个倒格矢代表正格子中的一族平行晶面

。

晶面族（h1h2h3）中离原点的距离为dh1h2h3的晶面的方程式可写成：Rl·kh/|kh|=dh1h2h3

(=0,±1,±2,……)得出正格矢和倒格矢的关系：Rl

·kh=2

结论：如果两矢量的关系：Rl

·kh=2，则其中一个为正格子，另一个必为倒格子；即正格矢和倒格矢恒满足正格矢和倒格矢的关系。（4）倒格矢的长度正比于晶面族（h1h2h3）的面间距的倒数。dh1h2h3=a1/h1·kh/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2/|kh|结论：倒格矢Kh垂直某一晶面（h1h2h3），也即该晶面的法线方向与此倒格矢方向一致。倒格矢Kh的大小与和其垂直的晶面间距成正比。一个倒格矢对应一族晶面，但一族晶面可以对应无数个倒格矢，这些倒格矢的方向一致，大小为最小倒格矢的整数倍。满足X射线衍射的一族晶面产生一个斑点，该斑点代表一个倒格点，即该倒格点对应一族晶面指数。k－k0=nKh的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个倒格矢Kh时，则该族晶面（h1h2h3）满足衍射加强条件，n为衍射级数。从2dh1h2h3sin=n中可知：对于某一个确定的晶面族，要满足衍射加强条件，可以改变入射波矢的方向，即改变，或改变入射波矢的大小，即改变。b1a1=2b2

a2=2a2a1b1b2Kl|Kl|=[(3b1)2+4b2)2]1/2=[(32/a1)2+42/a2)2]1/2面间距：d=2/|Kl|=[(6/a1)2+(8/a2)2]1/2RlOABRl=l1a1+l2a2+l3a3Kl=l1b1+l2b2+l3b3Rl=5a1+2a2Kl=3b1+4b2证明：3b1+4b2

(34)有：AB=OA-OB=a1/3-a2/4AB(3b1+4b2

)=(a1/3-a2/4)(3b1+4b2

)=a1b1-a2b2a1b1=0例如利用倒易点阵（倒格子）与正格子间的关系导出晶面间距和晶面夹角。

晶面间距dh1h2h3：dh1h2h3=2/|kh1h2h3|

两边开平方，将kh1h2h3=h1b1+h2b2+h3b3及正倒格子的基矢关系代入，经过数学运算，得到面间距公式。晶面夹角：

k1·k2=k1

k2

COS100200300001002003101201301103202203(100)(001)(102)O倒格子与正格子间的相互转化1020b1b2一维格子倒格子原胞：作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，这些平面完全封闭形成的最小的多面体（体积最小）------第一布里渊区。b1b20二维格子3.倒格子原胞和布里渊区••••ab••••构成第一布里渊区（简约布里渊区）的垂直平分线的方程式如下：

x=±/a及

y=±/a第二布里渊区的各个部分分别平移一个倒格矢，可以同第一区重合。第三布里渊区的各个部分分别平移适当的倒格矢也能同第一区重合。

(2/a)i-(2/a)i(2/a)j-(2/a)j4.X射线衍射与倒格子、布里渊区的关系（1）X射线衍射与倒格子的关系根据公式：k－k0=nKh,建立反射球或衍射球入射线的波矢k0反射线的波矢k倒格矢KhOCA晶面反射球Rl·kh/|kh|=dh1h2h3Rl.(k－k0）=2dh1h2h3=2/|kh1h2h3|（h1h2h3）（h1´

h2´

h3´

）建立反射球的意义通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍射照片上的斑点直接联系起来。利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向（若反射球上的A点是一个倒格点，则CA就是以OA为倒格矢的一族晶面h1h2h3的衍射方向S）。OC倒格矢球面与反射球相交于一圆同一晶面由于晶体的旋转引起该晶面倒格矢的旋转从而形成倒格矢球面。结论：所有落在此球上的倒格点都满足关系式:k－k0=nKh即满足衍射加强条件。衍射线束的方向是C点至A点的联线方向。第一布里渊区第一布里渊区第一布里渊区二维正方格子的布里渊区

(2/a)i-(2/a)i(2/a)j-(2/a)j（2）X射线衍射与布里渊区的关系结论：

入射波矢从倒格子原点出发终止在布里渊区边界，该对应的入射波满足衍射条件k－k0=nKh。复式格子（几个子晶格）子晶格复式原胞基矢子原胞固体物理学原胞平行六面体最小重复单元基矢多原子周期性晶格结点基元空间点阵晶列晶面单原子晶向对称性晶格面指数晶列指数最小重复单元的布喇菲格子（正格子）倒格子倒格矢结晶学原胞布喇菲原胞子原胞复式原胞基矢

几倍晶体结构中的概念体系

晶体的基本特征是结构具有周期性。用空间点阵概括周期性，空间点阵是由R

=l1a1+l2a2+l3a3的点的集合组成的点阵。

布喇菲格子的最主要特征是每个格点周围的情况都一样。对于多个原子组成的“分子”，将其看作基元。真实的晶体结构是由点阵+基元构成。晶体结构的周期性重复单元称为原胞。最小的重复单元是固体物理学原胞（包含一个原子或一个“分子”），最小单元的整数倍是结晶学原胞（包含多个原子或多个“分子”）。由周围情况相同的原子组成的格子为子晶胞，子晶胞相互沿空间移动（套购）形成的晶胞为复式格子。

晶体中的晶面用密勒指数表示。

重要的简单结构有体心立方、面心立方、六角密堆、氯化钠、氯化铯、金刚石结构。小结

每个晶体结构有两个点阵同它联系：晶体点阵和倒格子点阵，正格子点阵是真实空间的点阵，倒格子点阵是在波矢空间的点阵。结晶学家喜欢用正格子，而物理学家喜欢用倒格子，因为它在数学处理上具有优越性。

两个点阵的基矢具有一定的几何关系（包括方向、大小）。

倒格子原胞的选取：作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，为这些平面所完全封闭的最小体积------第一布里渊区。其体积与正格子体积成正比。倒格子中的一个格点与正格子中的一族晶面相对应。

衍射条件：入射波矢和反射波矢之差为该平面族所对应的倒格矢的整数倍。

晶体衍射的过程就是把正格子中一族晶面转化为倒格子中的一点的过程。1.2.1晶体结合的类型1.2.2结合力1.2晶体的结合结合力的不同可以将其分成五个典型的结合类型:离子晶体原子晶体金属晶体分子晶体氢键晶体1.2.1晶体的结合类型I-VII族组成的晶体是典型的离子晶体，如：NaCI、CsCI；II-VI族化合物可以看作离子晶体，如：CdS、ZnS。一、离子晶体1.类型刚球模型：组成离子晶体的原子在得失电子后，电子组态与惰性原子的电子组态一样，这种电子壳层结构是稳定的，具有球形对称性，由此可以把正负离子作为钢球来处理。2.基本概念结合力：正负离子间的静电库仑力。配位体：离子的最邻近的异种离子。配位数：异种离子的总数。晶体的结合能Eb：晶体由N个原子组成，这些原子的在自由时的总能量EN与晶体处于稳定状态时的能量（动能和势能）E0之差。晶体结合能的意义：结合能对了解组成晶体的粒子间相互作用的本质，为探索新材料的合成提供了理论指导。

(1）氯化钠型是由两种面心立方结构的离子沿晶轴平移1/2间距而成，配位数为6。NaCI、KCI、AgBr、PbS、MgO等皆属此类；(2）氯花铯型是由两种简立方结构的离子沿空间对角线位移1/2长度套购而成，配位数为8。TiBr、TiI等皆属此类。3.晶格复式格子。4.典型的离子晶体结构（3）离子结合成分较大的半导体材料ZnS等，是由两种各为面心立方结构的离子沿空间对角线位移1/4程度套购而成的闪锌矿结构，配位数为4。结合能的数量级约在800kJ/mol，结构稳定导致4.特性导电性能差、熔点高、硬度高、热膨胀系数小。在红外区有一特征峰，但对可见光是透明的。晶格：复式格子类型：IV族元素C（晶刚石）、Si、Ge、Sn(灰锡）的晶体。结合力：共价键力。特点：饱和性------形成键的数目（配位数）有一最大值；方向性------各个共价键之间有确定的取向。

例如：金刚石结构的4个键的方向是沿着正四面体的4个顶角方向，键间的夹角恒为109028‘。二、原子晶体（共价晶体）特性：特性差别较大。典型的原子晶体，具有熔点高、导电性能差、硬度高等特点。例如：从熔点来看，金刚石约为3280k、而Si为1693k，Ge为1209k。从导电性来看，金刚石是一种良好的绝缘体，而Si和Ge在极低温度下才是绝缘体，同时它们的电阻率随温度升高而急速的下降，是典型的半导体材料。类型：I、II族元素及过渡元素都是典型的金属晶体。结合力：主要是由原子实和电子云之间的静电库仑力，所以要求排列最紧密。晶格：不喇菲格子。原胞：大多数金属为立方密积和六角密积，配位数均为12。前者如Cu、Ag、Au、AI，后者如Be、Mg、Zn、Cd。少数金属具有体心立方结构，如Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W等。特性：具有良好的导电性，结合力小，但过渡金属的结合能则比较大。三、金属晶体晶体中粒子的互作用可分为两大类：

1.吸引作用：是由于异性电荷之间的库仑力，引起的作用在远距离是主要的。

2.排斥作用：一是同性电荷之间的库仑力，二是泡利原理所引起，在近距离是主要的。

在一适当的距离吸引作用=排斥作用晶格处于稳定状态1.2.2结合力一、结合力原子间的相互作用由势能u(r)可以按下式计算互作用力：f(r)=-du(r)/dr当两原子很靠近时，斥力大于引力，总的作用力f(r)0。当两原子相离比较远时，总的作用力为引力，f(r)0二互作用力、互作用势能和原子间距的关系u(r)rrf(r)rorm斥力吸引力1.计算ro、rm在某一适当距离ro，引力和斥力相抵消，f(r)=0即：du(r)/dr|ro=0得ro

由：df(r)/dr|rm=-d2u(r)/dr2|rm=0得rm两原子间的互作用势能可用密函数来表达：

u(r)=A/rm+B/rn

A、B、m、n为大于零的常数，第一项表示吸引能，第二项表示斥力能。晶体中总互作用势能为原子或离子对间的互作用势能之和用经典的处理方法：先计算两个原子之间的互作用势能，再把晶体的结构因素考虑进去，综合起来就可以求得晶体的总势能。设晶体中两原子的互作用势能为u(rij),则由N个原子组成的晶体其总的互作用势能为：u(r)=1/2u(rij)2.求结合能已知原子间的结合力、结合能的数学表达式，可以计算晶格常数、体积弹性模量、抗张强度等许多物理量。例如：晶胞常数的计算：原子处于平衡位置时，结合能最小，由du(r)/dr|ro=0求晶格常数。

三、结合力、势能的意义小结1.固体的结合全部归因于电子的负电荷和原子核的正电荷之间的静电吸引作用。但不同类型，表现形式不同。

★离子键是由异性离子的静电吸引而形成；

★共价键是反平行自旋的交叠电子，通过静电吸引束缚与它们关联的离子而形成；

★金属键是靠负电子云同正离子实间的库仑力形成；

★分子键靠感生偶极矩间的互作用形成

★氢键是氢原子核通过库仑作用与负电性较大的离子结合形成。2.原子间的排斥作用来源于交叠电荷的静电排斥和泡利原理造成的排斥。3.晶体采用何种结合类型决定于原子束缚电子的能力，这个能力由原子的电负性衡量。4.晶体结合力是研究其理化性能的基础。

晶格振动对晶体的许多性质有影响，例如，固体的比热、热膨胀、热导等直接与晶格的振动有关。

设：原胞中只含有一个原子，整个原子平面作同位相运动。

可以有三种振动波，一个纵向振动波，两个横向振动波.1.3晶格振动1.3.1一维原子链的的振动1.3.2晶体振动的量子化1.3.3确定晶格振动谱的实验s-1ss+1s+2s+3s+4aK或qK或q一、一维单原子晶格的线性振动

1.3.1一维原子链的振动条件：每个原子都具有相同的质量m；晶格常数（平衡时原子间距）为a；热运动使原子离开平衡位置x。n-2n-1nn+1n+2n+3

xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反的弹性力；两个最近邻原子间才有作用力------短程弹性力。xn表示第n个原子离开平衡位置的位移，第n个原子相对第n+1个原子间的位移是：

a+xn–xn+1-a=xn–xn+1同理：第n个原子相对第n-1个原子间的位移是：

xn–xn-1第n个原子受第n+1个原子的作用力：

Fn，n+1=-ks(xn-xn+1)第n个原子受第n-1个原子的作用力：

Fn，,n-1=-ks(xn-xn-1)

则第n个原子所受原子的总力为：

F=Fn，n+1+Fn，,n-1

得：F=ks(xn+1+xn-1-2xn)

1.原子间的作用力服从虎克定律第n个原子运动方程：

md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)

2.原子间的作用力服从牛顿定律晶格中所有原子作简谐振动（或具有前进波的形式）：

xn=Aexpi(t-naq)、xn=Aei(t-naq)、xn=Acos(t-naq)A：振幅；：角频率；n：1，2，3，4……N；aq：相邻原子的位相差；naq：第n个原子振动的位相差。此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。012343.原子振动方程如果第n个和n第个原子的位相之差：

(qna-qna)=2s(s整数)，即qn-qn=2s/a时，原子因振动而产生的位移相等，因此晶格中各个原子间的振动相互间存在着固定的位相关系。结果：在晶格中存在着角频率为的平面波------格波。格波格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的形式在晶体中传播形成的波。格波的特点：晶格中原子的振动；

相邻原子间存在固定的位相。nn+2n-1n+1n-2°°°°°°°°°°°°°°°2/q=4.色散关系（晶格的振动谱）色散关系：频率和波矢的关系。（1）色散关系的数学表达式将间谐振动方程：xn=Aei(t-naq)代入牛顿方程：md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)得：2={1-cos(qa)}2ks/m或=2(ks/m)1/2|sin(qa/2)|上式为一维简单晶格中格波的色散关系（---q的关系)，也为频谱关系。---q的关系为周期函数。根据函数的周期性，|qa/2|/2即|q|

/a在此范围以外的一切q值，只是重复此范围的q值所得频率。该范围的长度正好是倒格矢的长度(|-/a|+|/a|=2/a)。q的正负号说明：正的q对应在某方向前进的波，负的q对应于相反方向进行的波。色散关系为周期函数；当q=0时，=0当sin(qa/2)=1时，有最大值，且max=2(ks/m)1/2-2/a-/a0/a2/a

maxmax一维不喇菲格子振动的频谱（2）频谱图有：(q)=(q+2/a)说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊区边长.由布里渊区边界q=/a=2/得：/2=a满足形成驻波的条件q=±/a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条件，反射波与入射波叠加形成驻波。入射波反射波一维单原子简谐振动的波函数：xn=Aei{t-qna}将波矢：q=2s/a+q´（为任意整数）代入得xn=Aei{t-(2s/a+q´)na}=Aei2snei(t-q´na)

ei2sn=1xn=Aei{t-q´na}=xn´(3)分析讨论结论如果q-q´=2s/a（为任意整数）这两种波矢对同一种原子所引起的振动完全相同。对应某一确定振动状态，可以有无限多个波矢q，它们之间都相差2/a的整数倍。为了保证xn的单值性，把q值限制在(-/a,/a),其中a是该格子的晶胞常数，该范围正好在第一布里渊区。

例如：波矢q´=/2a原子的振动同样可以当作波矢q=5/2a的原子的振动（q-q´=2/a）。红线：q=5/2a,=4a/5两相邻原子振动的位相差是2+/2。•••••绿线：q´=/2a，=4a两相邻原子振动的位相差是/2。格波与一般连续介质波的比较相同：振动方程形式类似区别：[1]连续介质波中x表示空间任意一点，而格波只取呈周期性排列的格点的位置；[2]一个格波解表示所有原子同时做频率为的振动，不同原子间有位相差，相邻原子间位相差为aq.[3]二者的重要区别在于波矢的涵义（原子以q与q´振动一样，同一振动状态对应多个波矢，或多个波矢为同一振动状态）。a2a

2n-22n-12n2n+12n+2°°°•••m

M

运动方程：md2x2n+1/dt2=ks(x2n+2-2x2n+1+x2n)Md2x2n+2/dt2=ks(x2n+3+x2n+1-2x2n+2)1.色散关系（晶格振动谱）双原子（Mm）一维晶格、一维双原子晶格的线性振动方程的解是以角频率为的简谐振动：

x2n+1=Aei{t-q(2n+1)a}x2n=Bei{t-q2na}x2n+2=Bei{t-q(2n+2)a}x2n+3=Aei{t-q(2n+2)a}由牛顿方程与简谐振动方程得：

-m2A=ks(eiqa+e-iqa)B-2ksA-M2B=ks(eiqa+e-iqa)A-2ksA上式可改写为：(2ks-m2)A-(2kscosqa)B=0-(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0若A、B有异于零的解，则其行列式必须等于零，2ks-m2-2kscosqa-2kscosqa2ks-M2即得：2={(m+M)[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM说明：频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系，即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波（对于一维简单晶格，只能存在一种格波）。两种不同的格波各有自己的色散关系：

12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM由于q值限制在(-/2a,/2a)，2qa介于(-,)当2qa=(或-)时由12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM得(1)最大=(2ks/M)1/2由22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM

得(2)最小=(2ks/m)1/2因为Mm，有(2)最小(1)最大。（2）频率的取值当2qa=0时由12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM得(1)最小=0由22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM得(2)最大=[2ks(m+m)/mM]1/2设=mM/(m+M)（两种原子的折合质量）则(2)最大=(2ks/)1/2

-/2a,0/2aq

(2ks/M)1/2(2ks/m)1/2(2ks/)1/2光频支2声频支1一维双原子复式格子的振动频谱复式格子两种格波的振动频率，1—支格波的频率总比2—支的低。2支格波：光学支格波（光学波）可以用红外光光来激发；1支格波：声频支格波（声学波），可以用超声波来激发。结论由

(2ks-m2)A-(2kscosqa)B=0得(A/B)1=(2kscosqa)/(2ks-m12)因为122ks/M,cos(qa)0得(A/B)10三、声学波和光学波1.声学波说明：

相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振动，当波长很长时，声学波实际上代表原胞质心的振动。声学波示意图由-(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0得(A/B)2=

(2ks-M2)/2kscos(qa)因222ks/m,cos(qa)0得(A/B)202.光学波说明：对于光学波，相邻两种不同原子的振动方向是相反的。当q很小时，即波长很长的光学波（长光学波），cos(qa)1，又22=2ks/，由-(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0得(A/B)2=-M/mmA+MB=0说明：原胞的质心保持不动，由此也可以定性的看出，光学波代表原胞中两个原子的相对振动。声学波与光学波的比较说明：带异性电荷的离子间的相对振动产生一定的电偶极矩，可以和电磁波相互作用。且只和波矢相同的格波相互作用，如果有与格波相同频率的电磁波作用，发生共振。

-/2a0/2aq

光波=coq共振点四、周期性边界条件（波恩—卡门边界条件）由振动波函数单值的要求，对波矢的取值范围进行了限定:一维不喇菲格子，q介于(-/a,/a)之间;一维双原子的复式格子，q介于(-/2a,/2a)之间.波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成如下面所述的周期性边界条件模型（包含N个原胞的环状链作为有限链的模型）：包含有限数目的原子，保持所有原胞完全等价。如果原胞数N很大使环半径很大，沿环的运动仍可以看作是直线的运动。和以前的区别：需考虑链的循环性。即原胞的标数增加N，振动情况必须复原。一维链的波恩—卡曼边界条件

xn=Aei{t-qna}xn+N=Aei{t-q(n+N)a}=Aei{t-qna}ei{-qNa}由于

xn=xn+N有ei{-qNa}=1即Nqa=2h,（h为整数），或q=2h/Na

q介于(-/a,/a)之间，或-/aq/a得-N/2hN/2说明:h只能取由-N/2到N/2，一共有N个不同的数值。-N/2hN/2,q是均匀取值。由N个原胞组成的链，q可以取N个不同的值，每个q对应着一个格波，共有N个不同的格波，N是一维单原子链的自由度数，即得到链的全部振动模（或振动状态数）。同理：可得两种复式格子的q取值个数为N.结论晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动，其结果表现为晶格中的格波。一般而言，格波不一定是简谐波，但可以展成为简谐平面波的线性叠加。一、声子概念的由来

1.3.2晶格振动的量子化---声子当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波为简谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认为它们的存在是相互独立振动的模式。每一独立模式对应一个振动态(q)。晶格的周期性给予格波以一定的边界条件，使独立的模式也即独立的振动态是分立的。可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式。声子----晶格振动中的独立简谐振子的能量量子。二、格波能量量子化1.三维晶格振动能量原胞（N个）内含1个原子系统的三维晶格振动具有3N个独立谐振子；晶体中的格波是所有原子都参与的振动，含N个原胞的晶体振动能量为3N个格波能量之和；在简谐近似下，每个格波是一个简谐振动，晶体总振动能量等于3N个简谐振子的能量之和。谐振子的能量用量子力学处理时，每一个谐振子的能量l为：

l=(n1+1/2)ħI,nl=0,1,2,……则晶格总能量E为：E=(n1+1/2)ħI2.格波能量量子化说明：晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的能量量子ħI称为声子。、声子的性质1.声子的粒子性光子------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光子流，光子携带电磁波的能量和动量。声子------声子携带声波的能量和动量。若格波频率为，波矢q为，则声子的能量为ħ，动量为ħq。声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如同具有能量ħ和动量ħq的粒子一样。可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和物质的碰撞过程，使问题大大简化，得出的结论也正确。如，电子、光子、声子等。准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振动状态，所以不是真正的动量；系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具有能量为Ei的状态用出现的几率来表示。2.声子的准粒子性3.声子概念的意义1.3.3确定晶格振动谱(q)的实验方法晶格的振动谱------格波的色散关系。确定晶格振动谱的意义------晶体的许多性质和函数(q)有关。测定的依据------利用波和格波的相互作用。最重要的实验方法------中子的非弹性散射，即利用中子的德布洛依波与格波的相互作用。其他实验方法------X射线衍射、光的散射等。本节介绍------中子的非弹性散射（中子与原子核的作用）一束中子流：动量p、能量E=p2/2Mn。样品（与原子核之间有较强的相互作用，容易