广东省梅州市桃尧中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

广东省梅州市桃尧中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过双曲线，的左焦点作圆:的两条切线，切点为，，双曲线左顶点为，若,则双曲线的渐近线方程为A． B．

C． D．参考答案：A2.若，则，满足的条件是…………………(

)

(A)且

(B)

且或且(C)且，

(D)且参考答案：B3.设，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的运算．【分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：（1）；∴时，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分条件；（2）∥时，的夹角为0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要条件；∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．故选A．【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．4.

设a，b，c均为正数，且，，，则()．A．a<b<c

B．c<b<a

C．c<a<b

D．b<a<c参考答案：A5.设全集为实数集，，，则图1中阴影部分所表示的集合是A．

B．C．

D．参考答案：D，由集合运算得结果知阴影部分为,所以，选D.6.已知函数f（x）=x2017，若f（log2a）+f（log0.5a）≤，则实数a的取值范围是（）A．（0，2] B．（0，]∪[1，+∞） C．（0，]∪[2，+∞） D．[，2]参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数是偶函数，且函数在（0，+∞）上是增函数，不等式转化为﹣1≤log2a≤1，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，且函数在（0，+∞）上是增函数，∵f（log2a）+f（log0.5a）≤，∴f（log2a）+f（log0.5a）≤2f（1），∴f（log2a）≤f（1），∴﹣1≤log2a≤1，∴a∈[，2]．故选：D．7.“”是“函数有零点”的（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B8.已知函数有三个不同的零点，（其中），则的值为（

）A．

B．

C．-1

D．1参考答案：D9.若，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C10.已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为(

) A． B． C． D．1参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为钝角三角形，高为2的直三棱柱，求出它的体积即可．解答： 解：根据几何体的三视图得，该几何体是一个直三棱柱，底面三角形是钝角三角形，其三边长分别为1、、；且底面三角形的面积为S=×1×1=，棱柱的高为h=2，∴该三棱柱的体积为V=Sh=×2=1．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体是什么图形，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD的长为

．参考答案：【知识点】切割线定理N1解析：连接BO,设圆的半径为，由切割线定理可得，解得，在中根据余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案为。【思路点拨】连接BO,设圆的半径为，先由切割线定理解得，再利用余弦定理求出，则，再次利用余弦定理可得结果。12.设是定义在上的减函数，且对一切都成立，则a的取值范围是

.参考答案：略13.从集合内任选一个元素，则满足的概率为

．参考答案：答案：

14.已知圆O的一条直径为线段BC，A为圆上一点，，，则向圆O中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为

．参考答案：不妨设，则所求的概率故答案为：

15.数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则=．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】设数列{an}的前n项和为Sn，则，当n≥2时，．即可得出an=Sn﹣Sn﹣1．进而得到，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设数列{an}的前n项和为Sn，则，当n≥2时，．∴an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣1﹣（3n﹣1﹣1）=2×3n﹣1，当n=1时也成立．∴=（2×3n﹣1）2=4×9n﹣1．∴=4（90+91+…+9n﹣1）==．故答案为：．16.如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线y=1﹣x2的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M，N．则△MON面积的最小值为．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】设MN为曲线y=1﹣x2的切线，切点为（m，n），由抛物线的方程，求出导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0可得M，N的坐标，求得△MNO的面积，再由导数求得单调区间和极小值，也为最小值，即可得到所求值．【解答】解：设MN为曲线y=1﹣x2的切线，切点为（m，n），可得n=1﹣m2，y=1﹣x2的导数为y′=﹣x，即有直线MN的方程为y﹣（1﹣m2）=﹣m（x﹣m），令x=0，可得y=1+m2，再令y=0，可得x=（m＞0），即有△MON面积为S=（1+m2）?=，由S′=（﹣+48m2+24）=0，解得m=，当m＞时，S′＞0，函数S递增；当0＜m＜时，S′＜0，函数S递减．即有m=处取得最小值，且为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用函数的导数，求得切线方程，再由单调性求最值，考查运算能力，属于中档题．17.若执行如图所示的框图，输入，x2=2,x3=4,x4=8,则输出的数等于_____________.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，是上一点.（1）求椭圆的方程；（2）设是分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于的直线交于异于的两点，点关于原点的对称点为，证明：直线与轴围成的三角形是等腰三角形.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.（2）由题设知的坐标分别为.因此直线的斜率为.设直线的方程为：.由得：，当时，不妨设，于是，，分别设直线的斜率为，则，则要证直线与轴围成的三角形是等腰三角形，只需证，而，所以直线与轴围成的三角形是等腰三角形.考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.19.已知数列{an}满足（1）若，证明：数列{bn}是等比数列，求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项和Tn．参考答案：（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）由条件可得，即，运用等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得所求通项。（2）数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求的和。【详解】解：（1）证明：由，得，又，，又，所以是首相为1，公比为2的等比数列；，（2）前项和，，两式相减可得：化简可得【点睛】本题考查利用辅助数列求通项公式，以及错位相减求和，考查学生的计算能力，是一道基础题。20.如图，在中，，为中点，．记锐角．且满足．（1）求的值；

（2）求边上高的值．参考答案：（1）因为，角为锐角，所以………

2分==

……

4分

（2）解1：过点A作BC的垂线，垂足为O。设高AO=h，则CO=h，所以，

……

3分又

……

6分所以，得h=4.

……

8分解2：因为，角为锐角，所以

因此…………

2分

又在中，

…

4分

……

6分所以BC边上的高

答：BC边上的高的值为4.…

8分略21.（本题满分12分）如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点且为钝角，若，.（Ⅰ）求曲线和的方程；（Ⅱ）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由.参考答案：（Ⅰ）解法一：设椭圆方程为，则，

得.

设，则，，两式相减得，由抛物线定义可知，则或

（舍去）

所以椭圆方程为，抛物线方程为.

解法二：过作垂直于轴的直线，即抛物线的准线，作垂直于该准线，

作轴于，则由抛物线的定义得，所以

，

得，所以c＝1，︱OM︱=

(，得）,

因而椭圆方程为，抛物线方程为.（Ⅱ）设把直线

22.如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．（1）求证：平面PAC⊥平面BEF；（2）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（1）证明AC⊥平面PBC，可得AC⊥BE，又BE⊥PC，可得BE⊥平面PAC，从而可得平面PAC⊥平面BEF；（2）取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，证明平面CMG∥平面BEF，则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．解答：（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，∵BE?平面PBC，∴AC⊥BE，∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，∵AC∩PC=C，∴BE⊥平面PAC，∵BE?平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF；（2）解：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，∵E为PC的中点，2PF=AF，∴EF∥CG，∵CG?平面BEF，EF?平面BEF，∴CG∥平面BEF．同理可证：GM∥平面BEF，∵CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）．∵