广东省揭阳市良田中学2023年高二数学理月考试题含解析

广东省揭阳市良田中学2023年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则和是的

（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分有必要条件参考答案：A2.已知x、y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）A．1.30 B．1.45 C．1.65 D．1.80参考答案：B【考点】BK：线性回归方程．【分析】计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值．【解答】解：由题意，=4，=5.25∵y与x线性相关，且=0.95x+a，∴5.25=0.95×4+a，∴a=1.45故选B．3.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含个小正方形．则等于（

）A．39B．40

C．41

D．42参考答案：C略4.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．1 B． C．﹣2 D．3参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值．【解答】解：∵S3=6=（a1+a3），且a3=a1+2d，a1=4，∴d=﹣2，故选C．【点评】本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题．5.与终边相同的角可以表示为（

）A． B． C． D．参考答案：C略6.正四面体中，、分别是棱、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为

（

）

A． B． C． D．参考答案：B略7.复数，则的虚部为（

）A.－1 B.－3 C.1 D.3参考答案：D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算求出复数，结合共轭复数的概念即可得结果．【详解】∵，∴，∴复数的虚部为3，故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的基本概念，是基础题．8.如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC参考答案：D【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】证明CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，即可得到平面ADC⊥平面ABC．【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选D．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9.已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.设是奇函数的导函数,,当时,则使得成立x的取值范围是（

）A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞,－1)∪(1,+∞)C.(－1,0)∪(1,+∞)D．(－∞,－1)∪(0,1)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中，各项系数的绝对值之和为。参考答案：12.已知变量，满足约束条件则的最大值为

.参考答案：613.设随机变量X的分布列,则_______参考答案：【分析】先由概率之和为1，求出，再由即可求出结果.【详解】因为随机变量的分布列,所以，解得，因此.故答案为【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列的性质，熟记性质即可求解，属于常考题型.14.数列中，，是方程的两个根，则数列的前项和_________．参考答案：略15.已知直线与平行，则

参考答案：3或516.中，已知，则

．参考答案：17.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB,AB=AD=,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF=

参考答案：解：连结DE，可知为直角三角形。则EF是斜边上的中线，等于斜边的一半，为.略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1km，BC=2km，现准备开发一个面积为0.6km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由．参考答案：由题意可得：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6km2，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，求出A，B，C，D的坐标，运用待定系数法求出曲线AC的方程，欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设出切点（t，2t2），0≤t≤1，求出导数，可得切线的斜率和方程，求出三角形BEF的面积，设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，求出导数和单调区间，可得极值，且为最值，即可判断是否满足要求．解：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6km2，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），设曲线AC所在的抛物线的方程为x2=2py（p＞0），代入点C（1，2）得p=，得曲线AC的方程为y=2x2（0≤x≤1），欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设切点为P（t，2t2），0≤t≤1，由y=2x2得y′=4x，故点P（t，2t2）处切线的斜率为4t，切线的方程为y﹣2t2=4t（x﹣t），即y=4tx﹣2t2，当t=0时显然不合题意，故0＜t≤1，令x=1得yP=4t﹣2t2，令y=0得xK=t，则S△BEF=BE?BF=（1﹣）（4t﹣2t2）=t3﹣2t2+2t，设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，则f′（t）=（3t﹣2）（t﹣2），令f′（t）＞0得0＜t＜，令f′（t）＜0得＜t≤1，故f（t）在（0，）上递增，在（，1]上递减，故f（t）max=f（）=，而＜0.6，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求．19.已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．参考答案：【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率．（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是3×5=15，函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且，即2b≤a若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间[1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由得交点坐标为，∴所求事件的概率为．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．20.（本题满分12分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面的所成角的正弦值。参考答案：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为轴建立空间直角坐标系.则有，，所以异面直线BE与AC所成角的余弦值为.（2）设平面ABC的法向量为，则，所以，由得，，取，则故BE和平面ABC所成的角的正弦值为.21.如图，长方体中，为的中点（1）求证：（2）