广东省梅州市大埔田家炳实验中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

广东省梅州市大埔田家炳实验中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（

）参考答案：B试题分析：球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.考点：函数图象.【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.2.复数=（）A.

B.-

C.i

D.-i参考答案：C3.已知球O表面上的四点A，B，C，P满足AC＝BC＝，AB＝2，若四面体PABC体积的最大值为，则球O的表面积为A.

B.

C.

D.参考答案：A4.已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为

A.

B.C.

D.参考答案：A5.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生240人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：B考点：简单随机抽样．专题：计算题；方程思想；综合法；概率与统计．分析：本题是一个分层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数．解答：解：∵由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7，∴可以做出每=30人抽取一个人，∴从高三学生中抽取的人数应为=8．故选：B．点评：抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样6.设非零向量、、满足，则向量与向量的夹角为（）A．150° B．120° C．60° D．30°参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由+=可得﹣=，两边平方，结合向量的数量积的性质和定义，即可得到所求夹角．【解答】解：设||=||=||=t，由+=可得﹣=，平方可得，（﹣）2=2，即有||2+||2﹣2?=||2，即为2?=||2=t2，即有2t2cos＜，＞=t2，即为cos＜，＞=，则向量与向量的夹角为60°．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．7.已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下面四个命题：（1）α∥β?l⊥m，（2）α⊥β?l∥m，（3）l∥m?α⊥β，（4）l⊥m?α∥β，其中正确命题是（）A．（1）与（2） B．（1）与（3） C．（2）与（4） D．（3）与（4）参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】根据已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，结合α∥β结合线面垂直的定义及判定，易判断（1）的真假；结合α⊥β，结合空间直线与直线关系的定义，我们易判断（2）的对错；结合l∥m，根据线面垂直的判定方法及面面平行的判定定理，易判断（3）的正误；再根据l⊥m结合空间两个平面之间的位置关系，易得到（4）的真假，进而得到答案．【解答】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m?平面β，∴l⊥m，故（1）正确；∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l?平面β，又∵直线m?平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m?平面β，∴α⊥β，故（3）正确；∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m?α，又∵直线m?平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误；故选B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．8.在复平面内复数、对应的点分别为、，若复数对应的点为线段的中点，则的值为（）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C9.设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.给出如下四个命题：①若向量满足，则与的夹角为钝角；②命题“若”的否命题为“若”；③“”的否定是“”；④向量的充要条件：存在实数.其中正确的命题的序号是

A．①②④

B．②④

C．②③

D．②参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图在平行四边形中，已知，，则的值是

___.参考答案：【知识点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．F3

【答案解析】22解析：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2，故?=22，故答案为：22．【思路点拨】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，?=2，构造方程，进而可得答案．12.已知函数，则函数的图像在处的切线方程是

．参考答案：13.计算：________．参考答案：0略14.△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为，重心为G，若，则∠A=

.参考答案：略15.如图,已知内接于圆O，点在的延长线上，是⊙O的切线，若,,则的长为

.参考答案：616.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B、D形成三棱锥B-ACD，则其侧视图的面积为______．参考答案：

解：由题意可知几何体是三棱锥，底面是直角三角形，直角边长为4，3，一个侧面是直角三角形与底面垂直，AB=4，BC=3，B到AC的距离为：侧视图如图：是等腰直角三角形，直角边长为：．所以侧视图的面积为：．故答案为：．17.正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为，设是线段上一点，且是直角，则的值为

.参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直二面角中，四边形是矩形，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，.（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

试题解析：（Ⅰ）证明：由题意知：，，.∵,∴.∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，∴平面.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知、、两两互相垂直，以为原点，方向为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，，.

设二面角的平面角为，由题中条件可知，则，∴二面角的余弦值为.………………12分考点：线面垂直的判断，二面角．【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．当然如果图形中已经有棱的垂面了，二面角的平面角已经出现了，因此直接用定义求二面角即可，没必要再用向量法求解．19.（本小题满分12分）已知等差数列{}的公差，它的前n项和为，若，且成等比数列，（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）若数列{}的前n项和为，求证：。参考答案：解：（Ⅰ）由已知，，又成等比数列，由且可解得，，故数列{}的通项公式为；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），，显然，。略20.如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，MB，OT．(1)求证：；(2)若，试求的大小．参考答案：（1）证明：因MD与圆O相交于点T，由切割线定理，，得，设半径OB=，因BD=OB，且BC=OC=，则，，所以（2）由（1）可知，，且，故∽，所以；根据圆周角定理得，，则

略21.已知.（1）当时，求在处的切线方程；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）时，，，，所以在处的切线方程为（2）存在，，即：在时有解；设，令，所以在上单调递增，所以1°当时，，∴在单调增，所以，所以2°当时，设，令，所以在单调递减，在单调递增所以，所以所以设，，令，所以在上单调递增，所以所以在单调递增，∴，所以，所以所以，当时，恒成立，不合题意综上，实数的取值范围为.22.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）在区间内存在实数，使得成立，求实数的取值范围．参考答案：(1)；