2021版新高考数学：双曲线含答案

/20l.（20xx•荆州模拟）已知双曲线x2y2C：02~b2=1(a>0,成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是（）A.X-2x2y2C：02~b2=1(a>0,成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程是（）A.X-2-y2=12x2y2B.©―厂1C.X2-升1_x2y2D.亍二132C[由双曲线C：2202—b2=1（a>0,b>0）过点（边，V3）,且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得23=1,解得Ja2b2a=1,双曲b=3,线C的标准方程是X2—¥=1,故选C.]2.已知双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,焦点坐标为（±5,0）,则双曲线的方程为•16—¥=1[将3x±4y=0化为4±3=0,设以4±3=0为渐近线的双曲线方程为16一罟=久（久工°）,因为该双曲线的焦点坐标为（±5,0）,所以16久+9久=25,解得久=1,即双曲线的方程为磊一普=1.]考点3双曲线的几何性质双曲线的渐近线求双曲线的渐近线的方法求双曲线a2_b2=1（a>0，b>°）或篇―bl=l（a>0，b>°）的渐近线方程的方法

是令右边的常数等于0,即令a2—y2=0,得y=±|x;或令爲—2=0,得y=±bx.bx2y2反之，已知渐近线方程为y=±Ox,可设双曲线方程为务一牯=牝>0,b>0,入H0）.l.（20xx•全国卷II）双曲线a2—b2TOC\o"1-5"\h\z=l（a>0,b>0）的离心率为冷3则其渐近线方程为（）A.y=±\：2xB•y=土冷3x23C.y=±〒xD.y=±亍xc丿A［法一：（直接法）由题意知，e=-=\/3,所以c=£a,所以b=pc2—a2bb=\/2a,即-=\;'2,所以该双曲线的渐近线方程为y=±-x=±\/2x.c法二：c法二：（公式法）由e=-=\『+已2=羽，得a=&,所以该双曲线的渐近b线方程为y=±-x=±\：2x.]1a._4C.-22.（20xx•揭阳一模）已知双曲线mx2+y2=1的一条渐近线方程为2x+y=1a._4C.-2B.-1D.-4x2tD［因为mV0,则双曲线为：y2—i=1,渐近线方程为：±\；—mx+y=m0,所以~m=2,解得m=_4,故选D.］

3.（20xx•郑州模拟3.（20xx•郑州模拟）设厲，F2分别是双曲线C：x2a2y2b2=l(a>0,b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若IPF]l+IPF2l=6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A.x±2y=0B.\：2x±y=0C.x±2y=0D.2x土y=0B[假设点P在双曲线的右支上，则严叶旳丸,〔则严叶旳丸,〔IPF1LIPF2l=2a,Z.IPF1I=4a，IPF2I=2a.•・•IF]F2I=2c>2a,:.△PF}F1最短的边是PF，:.△PF1F2的最小内角为ZPF1F2.在\PF]F2中，由余弦定理得4a2=16a2+4c2—2X4aX2cXcos30°，c2—2\,'3ac+3a2=0，・°・e2—2\i3e+3=0，.二e=*3，.•.—=*3,c2=3a2，a2+b2=3a2，b2=2a2，・•.—=、'2，・••双曲线的渐近线方程为\Qx±y=0，故选B.]4.（20xx・江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2-b|=1（b>0）经过点（3,4），则该双曲线的渐近线方程是216「・•双曲线x2—b2=1(b>0)经过点(3,4)，・32—b2=1,解得b2=2，即方=10.又a=1，••该双曲线的渐近线方程是y=±*2x.]双曲线的离心率求双曲线的离心率或其范围的方(1)求a,双曲线的离心率求双曲线的离心率或其范围的方(1)求a,b,的值，由c2_a2+b2_a2a2e.（2）列出含有a,b,c的齐次方程（或不等式），借助于b2=c2—a2消去b,然后转化成关于e的方程（或不等式）求解.

⑴已知点f是双曲线誇一篇=l(a>0,b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若AABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()B.（1，2）A.（1，+x）B.（1，2）C.（2,1+<2）D.（1，1+羽C.（2,1+<2）(2)(20xx・全国卷I(2)(20xx・全国卷I)已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A=AB，F1B・F2B=0,则C的离心率为.(1)B(2)2[(1)若AABE是锐角三角形，只需ZAEFV45。，在Rt^AFE中,IAF\=中,IAF\=b2,a\FE\=a+c,则b2Va+c,a即b2Va2+ac,即2a2—c2+ac>0,则e2-e-2V0,解得一1VeV2,又e>1,则1VeV2,故选B.（2）如图，由F1A=AB,得FA=AB.又OF]=OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位线，即BF/OA,BF2=2OA.由F]B・F2B=0,得F]B丄F2B,OA丄F1A,则OB=OF1，所以ZAOB=ZAOF1，

又OA与OB都是渐近线，得ZBOF2=ZAOF],又ZBOF2+ZAOB+ZAOF]=n得ZBOF2=ZAOF]=ZBOA=60°,b又渐近线OB的斜率为-=tan60°=.[3,^a所以该双曲线的离心率为2=所以该双曲线的离心率为2=\”+(\&)2=2.]双曲线的渐近线的斜率k与离心率e率e的关系：亠^aal.（20xx・衡水模拟）已知双曲线223C］：a^-b2=1（a>0，b>0）,圆C2：x2+y2—2ax+4a2=0,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线q的离心率的取值范围是（）TOC\o"1-5"\h\zAL2^3]B(2^3,)A.(1,-3^B.，+門C.(l,2)D.(2,+T\o"CurrentDocument"……bA[由双曲线方程可得其渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,圆C2:x2+y2311—2ax+4a2=0可化为(x—a)2+y2=4a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径厂=尹，由双曲线C］的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得I，"；+厉<2"'即c>2b,即4ca/3c2>4b2,又知b2=c2—a2,所以c2>4（c2—a2）,即c2<jO2,所以e=a<3,又知.]e>1，所以双曲线Ci的离心率的取值范围为（l,爭.]2.（20xx・济南模拟）已知双曲线E：誇一活=1（。>0，b>0）.若矩形ABCD的四个顶