广东省梅州市东升中学2021年高一数学理期末试卷含解析

广东省梅州市东升中学2021年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（

）A.50% B.30% C.10% D.60%参考答案：A【分析】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加，计算得到答案.【详解】甲不输的概率等于甲获胜或者平局的概率相加甲、乙下成平局的概率为：故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件的概率，意在考查学生对于概率的理解.2.设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=(

)A．（﹣4，3） B．（﹣4，2] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，3）参考答案：B【考点】区间与无穷的概念；交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，∴A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故选B．【点评】本题考查交集及其去运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3.如果扇形圆心角的弧度数为2，圆心角所对的弦长也为2，那么这个扇形的面积是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值，再求扇形的面积即可．【解答】解：如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，Rt△AOC中，AO=，从而弧长为α?r=，面积为××=故选A．【点评】本题考查扇形的面积、弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．4.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（

）

A.

m

B.

m

C.m

D.30m参考答案：A5.直线经过与的交点，且过线段的中点，其中，，则直线的方程式是

A.

B.

C.

D.参考答案：C6.幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是(

)A．m＞n＞p B．m＞p＞n C．n＞p＞m D．p＞n＞m参考答案：C【考点】幂函数的图像．【专题】计算题．【分析】在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．在第一象限作出幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象，数形结合能求出结果．【解答】解：在第一象限作出幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象．在（0，1）内取同一值x0，作直线x=x0，与各图象有交点．则“点低指数大”，如图，知0＜p＜1，﹣1＜m＜0，n＞1，∴n＞p＞m故选：C．【点评】本题考查幂函数的图象的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的合理运用．7.函数，设，若，的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B8.如果，那么（

）A. B. C. D.参考答案：B【详解】∵，∴，∴，故选B

9.三个数60.7，（0.7）6，log0.76的大小顺序是（）A．（0.7）6＜log0.76＜60.7 B．（0.7）6＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜（0.7）6 D．log0.76＜（0.7）6＜60.7参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：60.7＞1，0＜（0.7）6＜1，log0.76＜0，可得60.7＞（0.7）6＞log0.76．故选：D．10.用“二分法”求函数的一个正实数零点，其参考数据如下：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为

(

)

A.1.2

B.1.3

C.1.4

D.1.5参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B，则a=_______.参考答案：0或12.已知数列的前项和为（），则

。参考答案：5413.

给出下列五个命题：

①函数的图象与直线可能有两个不同的交点；

②函数与函数是相等函数；

③对于指数函数与幂函数，总存在，当

时，有成立；

④对于函数，若有，则在内有零点.

⑤已知是方程的根，是方程的根，则.其中正确的序号是

.参考答案：

14.若，，则下列性质对函数成立的序号是

；①；

②；③；

④．参考答案：①③④略15.关于x的不等式2x≤2x+1﹣解集是． 参考答案：{x|x≥﹣1}【考点】其他不等式的解法． 【专题】整体思想；换元法；不等式的解法及应用． 【分析】换元法结合指数函数的单调性可得． 【解答】解：令2x=t，则原不等式可化为t≤2t﹣， 解得t，即2x≥=2﹣1， 由指数函数y=2x单调递增可得x≥﹣1 故答案为：{x|x≥﹣1} 【点评】本题考查指数不等式的解集，涉及指数函数的单调性，属基础题． 16.已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为

．参考答案：12+4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12+4【解答】解：由三视图知，AB=BC=CD=DA=2，CE⊥平面ABCD，CE=2，AE⊥平面ABCD，AE=2，EF=2，BE=BF=DE=DF=2，则△DEF，△BEF为正三角形，则S△ABF=S△ADF=S△CDE=S△CBE=×2×2=2，S△BEF=×2×2×=2，S△DEF═×2×2×=2，S正方形ABCD=2×2=4，则该几何体的表面积S=4×2+2+2+4=12+4，故答案为：12+417.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知集合A=[0，3），B=[a，a+2）．（1）若a=﹣1，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）吧a的值代入确定出B，求出A与B的并集即可；（2）由A与B的交集为B，得到B为A的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A=[0，3），B=[a，a+2）=[﹣1，1），∴A∪B=[﹣1，3）；（2）∵A∩B=B，∴B?A，∴，解得：0≤a≤1．【点评】此题考查了集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．19.数列{an}的前n项和Sn满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{bn}为等差数列，且，求数列的前n项Tn.参考答案：(1)见证明；(2)【分析】（1）利用与的关系，即要注意对进行讨论，再根据等比数列的定义，证明为常数；（2）利用错位相减法对数列进行求和.【详解】解（1）当时，，所以因为①，所以当时，②，①-②得，所以，所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，所以，因为，所以，设的公差为，则，所以所以，，所以，则，以上两式相减得：，所以.【点睛】数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和可采用错位相减法求和，注意求和后要保证常数的准确性.20.（16分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（lnm）+f（2lnn）≤1﹣3lnm，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）法一：由奇函数的性质：f（x）+f（﹣x）=0列出方程，化简后列出方程组求出a、b的值，结合条件求出f（x）的解析式；法二：由奇函数的性质：f（x）+f（﹣x）=0取特值后，列出方程组求出a、b的值，即可求出f（x）的解析式；（2）先判断出f（x）的单调性，利用函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明；（3）由奇函数的性质先化简不等式，构造h（x）=f（x）+x，利用单调性的定义、f（x）的单调性证明h（x）在R上的单调性，由单调性列出不等式，即可求出m的范围．【解答】（1）（法一）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以在R上恒成立．…（2分）所以（a﹣2b）（2x+2﹣x）+2ab﹣2b2﹣2=0恒成立．所以，解得或…由定义域为R舍去，所以．…（法二）函数的定义域为R，且f（x）是奇函数，当x=0时，得，得a=b+1，…（1分）当x=1时，f（1）+f（﹣1）=0，得，解得：，…此时为奇函数；

…所以．…（2）函数f（x）为R上的单调增函数．

…（6分）证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，则=

…（8分）因为x1＜x2，又g（x）=2x为R上的单调增函数，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）为R上的单调增函数．…（10分）（3）因为f（lnm）+f（2lnm﹣1）≤1﹣3lnm，即f（lnm）+lnm≤﹣f（2lnm﹣1）+1﹣2lnm而函数f（x）为R上的奇函数，所以f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm．

…（12分）令h（x）=f（x）+x，下面证明h（x）在R上的单调性：（只要说出h（x）的单调性不扣分）设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，因为x1﹣x2＜0，由（2）知f（x1）﹣f（x2）＜0，所以h（x1）﹣h（x2）=f（x1）+x1﹣（f（x2）+x2）=f（x1）﹣f（x2）+（x1﹣x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），所以h（x）为R上的单调增函数．因为f（lnm）+lnm≤f（1﹣2lnm）+1﹣2lnm，所以h（lnm）≤h（1﹣2lnm）所以lnm≤1﹣2lnm，…（14分）解得，所以实数m的范围是．

…（16分）【点评】本题考查了奇函数的性质，利用单调性的定义证明函数的单调性，以及构造法解不等式，考查方程思想，函