广东省揭阳市盛遵中学2021年高三数学文期末试题含解析

广东省揭阳市盛遵中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y=f（|x|）；②y=f（﹣x）；③y=xf（x）；④y=f（x）+x．A．①③B．②③C．①④D．②④参考答案：D【考点】：函数奇偶性的判断．【专题】：计算题．【分析】：由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）逐个验证即可

解：由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）验证①f（|﹣x|）=f（|x|），故为偶函数②f[﹣（﹣x）]=f（x）=﹣f（x），为奇函数③﹣xf（﹣x）=﹣x?[﹣f（x）]=xf（x），为偶函数④f（﹣x）+（﹣x）=﹣[f（x）+x]，为奇函数可知②④正确故选D【点评】：题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题．2.下列四组函数中，相等的两个函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.若向量的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A4.在中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,则等于A、

B、

C、

D、参考答案：【知识点】正弦定理，解三角形.C8【答案解析】B解析：解：根据正弦定理可得【思路点拨】根据正弦定理可求出角B的正弦值，再根据边的关系可求出角的大小.5.已知点的坐标，满足，则的最大值是、

、

、

、参考答案：C6.已知数列{an},,,则的值为(

)A.4 B.5 C.6 D.8参考答案：A【分析】将n=1和n=2代入递推关系式，求解即可．【详解】数列{an}，a2＝1，，可得a1+a2＝2，a2+a3＝4，解得a1＝1，a3＝3，a1+a3＝4．故选A．【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力.7.已知集合A={x|（5x+1）（2﹣x）＜0}，B={x|x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣∞，4） B．（﹣，2） C．（2，4） D．（﹣∞，﹣）∪（2，4）参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】由一元二次不等式的解法求出集合A，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|（5x+1）（2﹣x）＜0}={x|x＜﹣或x＞2}，且B={x|x＜4}，∴A∩B=（﹣∞，﹣）∪（2，4），故选D．8.已知向量=

*K*s*5*uA．

B．

C．5

D．25参考答案：C略9.若O是A、B、P三点所在直线外一点，且满足条件：，其中为等差数列，则等于（

）

A．

B．1

C．

D．-1

参考答案：C略10.斐波拉契数列0，1，1，2，3，5，8…是数学史上一个著名的数列，定义如下：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥2，n∈N）．某同学设计了一个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图，那么在空白矩形和判断框内应分别填入的词句是（）A．c=a，i≤14 B．b=c，i≤14 C．c=a，i≤15 D．b=c，i≤15参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得在每一次循环中，计算出S的值后，变量b的值变为下一个连续三项的第一项a，即a=b，变量c的值为下一个连续三项的第二项b，即b=c从而判断空白矩形框内应为：b=c，由于程序进行循环体前第一次计算S的值时已计算出数列的前两项，只需要循环12次就完成，可求判断框中应填入i≤14．【解答】解：依题意知，程序框图中变量S为累加变量，变量a，b，c（其中c=a+b）为数列连续三项，在每一次循环中，计算出S的值后，变量b的值变为下一个连续三项的第一项a，即a=b，变量c的值为下一个连续三项的第二项b，即b=c，所以矩形框应填入b=c，又程序进行循环体前第一次计算S的值时已计算出数列的前两项，因此只需要循环12次就完成，所以判断框中应填入i≤14．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.类比正弦定理，如图，在三棱柱中，二面角、、所成的平面角分别为、、，则有

．参考答案：12.已知函数f（x）=|cosx|?sinx给出下列五个说法：①f（）=﹣；②若|f（x1）=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是

．参考答案：①③考点：二倍角的正弦．专题：探究型；三角函数的图像与性质．分析：①f（）=|cos|?sin==﹣；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，列举反例x1=0，x2=时也成立；③在区间上，f（x）=|cosx|?sinx=sin2x，单调递增；④由f（x+π）≠f（x），可得函数f（x）的周期不是π；⑤由函数f（x）=|cosx|?sinx，可得函数是奇函数．解答： 解：①f（）=|cos|?sin==﹣，正确；②若|f（x1）=|f（x2）|，即|sin2x1|=|sin2x2|，则x1=0，x2=时也成立，故②不正确；③在区间上，f（x）=|cosx|?sinx=sin2x，单调递增，正确；④∵f（x+π）≠f（x），∴函数f（x）的周期不是π，不正确；⑤∵函数f（x）=|cosx|?sinx，∴函数是奇函数，∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，点（﹣，0）不是函数的对称中心，故不正确．故答案为：①③．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式，以及三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．13.已知一组正数则数据的平均数为

。参考答案：

14.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值为

参考答案：8

15.（文）某高校随机抽查720名的在校大学生，询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息，得到的结果如右表，已知这720名大学生中随机抽取一名，了解商品最新信息的概率是，则

.参考答案：200了解商品最新信息的人数有，由，解得16.直三棱柱ABC-A1B1C1中，，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为__________．参考答案：16π【分析】设，由三棱锥的体积为可得．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值．【详解】如图，在中，设，则．分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心．连，则为外接球的半径，设半径为．∵三棱锥的体积为，即，∴．在中，可得，∴，当且仅当时等号成立，∴球表面积的最小值为．故答案为：．【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．17.如右图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C上的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的个数是

．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，，二面角是直二面角，，，.

（1）求证：面；（2）求二面角的大小.参考答案：（Ⅰ）由已知，平面，平面，所以平面.同理可得：平面.又，所以平面平面，又平面，平面.（Ⅱ）因为二面角是直二面角，所以平面平面，平面，平面平面，又，有，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系；由已知得，，，，所以，.设平面的法向量为，则，即.不妨取，则，取面的一个法向量，所以.19.（本小题满分14分）在△ABC中，AC=6，，．

⑴求AB的长；

⑵求的值．参考答案：解（1）因为所以由正弦定理知，所以（2）在三角形ABC中，所以于是又，故因为，所以因此

20.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围；参考答案：

略21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，.（1）求证：为等比数列，并求{an}的通项公式；（2）若，求{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）（2）【分析】（1）当时，构造，两式相减得到，再通过构造得到，并且验证满足；（2）根据（1）可知，由数列形式可知用分组转化法求和.【详解】（1）由得：，两式相减得：，即，∴，由，令得，而，故，所以为首项是2，公比是2的等比数列，故，.（2），∴.【点睛】本题考查已知数列的前项和，求，和数列求和，本题属于基础题型，但第一问需注意的取值范围，只能说明数列从第2项起是等比数列，还需验证首项满足，这点需注意.

22.（16分）已知向量=（cosα，1+sinα），=（1+cosα，sinα）．（1）若|+|=，求sin2α的值；（2）设=（﹣cosα，﹣2），求（+）?的取值范围．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数；向量的模；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则得到两向量和的坐标，再利用向量模的计算方法表示出两向量和的模，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简后，根据已知两向量和的模得出sinα+cosα的值，两边平方后，再根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值；（2）由及的坐标求出+的坐标，再由的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算所求的式子，配方后得到关于sinα的二次函数，配方后，根据正弦函数的值域得到自变量sinα的范围，利用二次函数的性质得到