极值点偏移第二招-含参数的极值点偏移问题

专建04,极值点偏移第二招——含参数的极值点偏移问J含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元玉，丛的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决：或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例1.己知函数f(x)=x-aex有两个不同的零点xL,x2,求证：x{+x2>2.t解析】思路1：函数/CO的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与专题三(不合参数的极值点偏移问题)例题完全等价，专题三例题的四种方法全都可以用5思路2：也可以利用参数。这个媒介去构造出新的函数•解答如下；因为函数S有两个零点而，改'由(1}+(2)得；而+河=成/I+/)j要证明玉+改>2,只要证明々甘+@均)>2,由得；而一也g朝)，即g"—e1即证：5F一>2<=>6F >2,01-c2 e12—1不妨设x{>x2,i^t=xl-x2,贝e1+i 2(er-1)因此只要证明：/・一一>2<=>r一一\一>0,el-1 d+1再次换元令ef=x>l,t=hix,即证Inx-—―—>O.xe(1,+s)x+1构造新函数F(x)=ln.s2(xT).尸(i)=ox+1求导F\x)=-——』={A'~[)>0,得F(x)在(1,+s)上递增,X(x+1)-x(x+l)"所以F(x)>0,因此原不等式耳+毛>2获证.★例2.己知函数f（X）=hlX-CVi,。为常数，若函数孑3）有两个零点上易，证明:%•毛>e~.[解析]法_：消参转化成无参数问题：f（x）=0<^lnx=oxOliix=ae^>西丹是方程/（x）=0的两根，也是方程tax=勇心的两根,则血斗In的是方程工=&'的两根，设％=血毛,花=血叱，g（x）=xe~x,则g（«L）=g（Mi）,从而而此>/oln;q+ln改>2。珂+牝>2,此问题等价转化成为专题三例题，下略一法二：利用参数。作为媒介，换元后构造新函数：不妨设X]>x2,•/InxL-axL=05hix2-ax2=0,/•hi+hix2= +x2）,Inxk-hix2=。（耳一易），:. =。，欲证明xLXy>e2,即证hixk+hi>2.TOC\o"1-5"\h\zx.—m - 一A _2•「lux】+lnx,=。（凡+x「），「•即证。> ,. . Xi+x2..•原命题等价于证明虹虹>二，即证：心>四4,饥=尘（3），X]一毛+x2 x2xk+x2 x2构造g（，）=hU—四二4j〉l,此问题等价转化成为例1中思路2的解答，卜略.r+1法三：直接换元构造新函数：111X111 111丛丛丛，八a=—=—-<=>—==,设耳<丛,，=二（>1）,TOC\o"1-5"\h\zX]x2InX]& - &InZx. hif+hix.则m=叫,——=t<=> =t,- In§ hi&I hif,t ,In/thit及解出：Inx= ,inxy=hitxx=hu+ln兀=ln，+ = ,1r-1 " 1 1t-lt-l故x.x^>e2<=>inx.+lnx^>2<=> >2,转化成法二，卜同，略..t-l

★例3.已知耳,易是函数/(x)=ex-ax的两个零点，且由<x2.(1)求证：思+工2>2；(2)求证：xrx2<1.【解析】(1)问题可以转化为：y=—与卜=一有两个宣点』由图知，Ovjqviv改

ea且<%即，*且<%即，*"工_gl=Q(Xg—而)>a= TOC\o"1-5"\h\z矿+召心 +/ 2故要证：而+改：>2,艮［1证： >2,也艮［1证：——> a 事一事习—沔c&f+1 2也即sx,A 〉令£=勺一西：则活(如皿9%—1 x1—x［设诙)*+1)*—如贝板&)=庭_/+1:加”斗.・.g'(f)在(0,也单调递增，即gO)>g'(0)=Q-■.・g(0在(0,诉)单调递增J即g(r)Ag(O)=Oj故原不等式得证.(2)要证：X/,<1,即证：-——t—<1,等价于eXl-eXz<(- )2,(T X2-XY〃七丐 1 1也即- ‘V—-—,等价于 <—-—,令t=x.-Xi>0(亦一(气一" (*f—l)-(X.-Aj- 'tp11 1 L等价于,1.<_(r>o),也等价于一<-(，>0),等价于即证：，.苦—#+1<0(#一1)-「 e-1t令h(t)=te2-e1+l(r>0),则h'(t)=e2+-t-e2-e1=e2(l+--e2),2 2tL |tL又令(p(t)=l+——e2(t>0),得(p(t) e2<0,/.(p(t)在(0,+s)单调递减，\o"CurrentDocument"2 22(p(t)<例0)=0，从而hr(t)<0,h(t)在(0,+s)单调递减，:.h(t)<h(0)=0,即证原不等式成立.【点评】从消元的角度，消掉参数。，得到一个关于X],气的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.★例4.己知函数f（x）=x-etL\a>0）,若存在凡,工2（凡ex?）,使f（X]）=/（易）=0,求Y证：【解析】函教/W的零点等价于方程的实根，令威X）=重,（XA0）,X X求导可知jg（x）在（。矽上里调睡增，在（。出）上里调理;原或或蜘=s<^）=-e（i）下证：当。日寸，方程有两个实根一e xx当xe（Oy）B七义（、）是减函数广.•欢1）=0涪但）=1顽1）心<爪矽€.•.当xE（0,或g（x）为增函数，菖（1）=Qg（@）-:g（y）<a<欢e）,e二当注（0"）时，。=给有一解,记为耳.X当XE（E+CD）时，£（*）为减函数，从（4）=一23勺11仁a先证：义（4"）<口，即证：7令取8）=alnQ（a>。），a 2求导由相。）的单调性可得:A（曰）酣=人（【）=一[>一!，故不等式々111曰>一!即证,& & 2 2也即原不等式或4）〈曰成立.a.••当xe（^-H»）时'«=—W—解，记为他.XY再证：—<ae.x2...王_OT]_OT]x2ax2hix2而0v&ve<七，hix2>1.&axAae•.—=一-<一=ae・i止毕.Mhim1

【招式演练】★设函数/(x)=ex-ax+a(aeR)的图像与x轴交于人(&,0),Bg。)。＜.％)两点，(1)证明：(扁g)v0；(2)求证：xkx2<xL+x2.【解析】(1〉法一：因为eX|-ax】+q=0,_xnv4kZR©巧_两式相减得“=一—e"-ax2+a=0»} *2一玉记互产=s(s>o),则r，五也设g(s)=2s-(W-e-勺，则典)=2-e+e")<0,为“2可一再a政=忘-[2sTS—(r)],所以g(s)是单调减函数,则有g(s)<g(0)=0,而£>0,所以r(五方冬)又f\x)=cx-a是单调增函氮且色尹>尽，所以尸(反)<0.法二：x=\na是/(尤)的极小值点，易iiE^<ln<2<x2,设F(x)=/(lna4-x)-/(lna-x)=a(ex-e-x-2x),(x>0),Fr(x)=a(ex+e-x-2)>0户。)在(0,秒)单调递增，因此F(x)>F(0)=0,即x>0时/(ma+.)〉/(lna-*),易证<Ina<x,,所以2Ina-x2>In因此f(x})=f(x2)=f(]na+(x2-\na))>f(]na-(x2-lna))=f(2\na-x2),因为八x)在(—00,In。)单调递减，所以吨v21mo一岭=>壬即姊7<司寺上L Xr又/U)=e'-Q是单调递增函数，所以广(卮)<r(m。)=0.<0.<\na,eh=a(x.-1)(2)证明：由/ ,易知且。〉g,1)-TOC\o"1-5"\h\za._vx.-l ,c1Ea-Ba1116Z-111/7 ,从而——=《*，=一，令a=xl-\,p=x,-l,则/〃=—=> =1,K x2-l - pa-p由于气匚+<=>初vl,下面只要证明：o/7<l<=>/7<—,(0<a<l<^),- - a结合对数函数y=lnx的图像可知，只需证：(a,lna),(L,lnL)两点连线的斜率要比aa(Q,InQ),(0、In/?)两点连线的斜率小即可，】!1I|, ma-ln—<又因为R= =1,即证： <lo——a+21na>0(0<a<1),臣1 aCZ a令g(a)=L-Q+21no〉0,(0<q<1),则g\ct)=-A--l+—=- <0.a a-aa~...g(a)在(0,1)上单调递减，..・g(Q)>g(l)=0,:.原不等式X]土<X]+x2成立.★设函数f(x)=ahix-bx2,其图像在点F(2J(2))处切线的斜率为-3.当a=2时，令g(x)=/(x)-Aa-,设1],,%(】1<丛)是方程g(x)=0的两个根，%是3,易的等差中项，求证：g'So)vO(g'(x)为函数g(x)的导函数)•【解析】由函数了(力图像在点必(2质2))处切线的斜率为一3得力=1,所以氛闵=211]1*-¥-坂的两个零点气,改，贝巾2岫不炕"2111 —-^2—^0^2相减得：2(lnjq-血沔)一(峙一也与一忒为一气)=0,'.'工]六沔，展=竺冬匝-3+改)，故&=—…里--纸当而一也 为 邑+工2邑一也2(^-1)=w_[竺而-1D成=_2-匀习一行血+习 祈—西丑+1叫TOC\o"1-5"\h\z令f=送,烷(。」)‘^)=^Z^-lnf=2-—-InGx+1 r+14 1 (t-Vi1 2则^)=-—t—=-^-^<0,例r)在(0,1)±单调i弱戚，故秘下)>秘。=0,又 <0,所(/+1)t <2?+1) 而一习以E0j)<O,证毕一★设函数/(X)=a2x---2ahiax(a>0),函数f\x)为f(x)的导函数，且xA。,f(x】)),B(土,f(易))是/(x)的图像上不同的两点，满足/(xj+/(x2)=0,线段AB中点的横坐标为X。,证明：O¥°>1.y_i_y 1 ? 1【解析】7^0>10^-^>-0^>——丛，又依题意f\x)=(6/——)2>0,2 a a X

2得/(x)在定义域上单调递增，所以要证ox°>l,只需证—/(%.)=/(^)a2即/(—丛)+/(*■>)<。 ①a- -不妨设，注意到/(-)=0,由函数单调性知，有耳<上,丛>上，- a ci"a构造函数F(x)=/(--X)+/(x)，则尸⑴=f\x)-/X--A-)=-4、一1)\,a ax^(2-axy当x>—时，F\x)<0,即F(x)单调递减，当x>—时，F(x)<F(—)=0»从而不等式a a a①式成立，故原不等式成立.★己知函数/(A)=6Z---111X(ClGR).若。=2,求函数/(x)在(1,〃)上的零点个数；(2)若/(x)有两零点xlyx2(xk<x2),求证：2〈X]+冯<3/i-1.【解析】(1)由题设，故在(1,。2)上单调递减，X所以/⑴在(1,e2)上至多只有一个零点.又/(1)/(e2)=-4<0,故f⑴在(1,e2)上只有一个零点.e(2)①证：先证与+互>2・法f利用通法证明/(】)=。-土-lnx的极值点x=l向左偏移，即1<的兰.法二t直接换元法化单变元：依题设，有a=l+lnx=—+lnx2,于是土邑=血五. 宁毛 X2' X}X2X]• 1 2| 2( Inf)id—=6t>\>则lni= ,故X]= ・于是,x\+xi=xi(t+\)= ， 玉 f叫 Zin/ lint Inf记函数亦aO—E，4L因g'(x)=°浮>0,故亦)在(1,+8)上单调递增.2x 2x于是，Q1时，g(r)>g(lM.又出>0,所以，x}+x2>l.②再证X[+恐<3卯一1・因为沪0U*人(x>w-l-xln心)，故Xi，x2也是/(*)的两零点,Bh\x)=a-l-hw=0,得x=3,且xvJil(x)>0^x>e",h\x)<0利用通法证明h(x)=ax-l-xhx的极值点x=e"向右偏移，所以竺垒< 即a,+x2<2/t,由耳+为>2即竺也>1得，2 2]+(历+易)<^^~+(弓+》2)=3(可+易)〈2.2。3=3丁-'=习+易〈女3_1.2 2 2【点评】1.方程的变形方向：①凡,％是函数/(X)的两个零点，1是该函数的极值点.②％,%是函数/?(Q的两个零点，矿T是该函数的极值点.2.难点X]+易<3矿—1的证明依赖利用Xl+x2>2放缩.★己知函数f(x)= +(1-a)x-alnx.J(I)讨论f(x)的单调性；(II)设aAO,证明：当Ovxva时，f(a+x)<f(a-x)；X+X(III)设七会是f(X)的两个零点，证明f'(一)>0.2【答案】(I)f(x)在(O,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增；(【I)当0<x<aW，f(a+x)<f(a-x)；(III)证明过程见解析【解析】试题分析：<I)求导，并判断导数的符号，分别讨论义的取值』确定函数的单调区间.(0)构造函数8闵=仙♦x)-仙・xb利用导歉求幽数啪当。vx<a时的最大值小于零即可.X.+X, X.+X,(III)由(11)得，伽-叩顼小>七)5却=。『从而％于是由(I)知.『II-a)乂-a(x+『II-a)乂-a(x+2)(x-a}求导数'/•曰■ a求导数'(x)=x-t-1-a--=K若心0,则袍”0,此时倒萄小呵上单调睡增，若a>0,则由栉心了甘和力，当0〈XVa时，,当xm时jfW>0,此时f闵在2阁上单调递减，在+呵上里调递增.(II)令g(x)=f(a+x)"(a-X),则1,1、g(x)=-(a+x)~+(1-a)(a+x)・aln(a+x)・[^(a・x)~+(1-a)(a.x)-aln(a・x)]=2x-aln(a+x)+aln(a-x). 5"t aa~2x求导数，得g(x)=2. ——=—―-,a+xa-xa"-x"当时0〈XVa,g'(x)<0»•,-g(x)在。a)上是减函数.而g(0)=0，•••g(x)<g(0)=0,故当0vxva时,f(a+x)vf(a-x)(III)由(I)可知，当aw。时，函数y=f(x)至多有一个零点,故点0,从而f(x)的最小值为f(a),且f(a)v。，

不妨设°VX］〈X2，贝iJO<Xj<a<x2, 0<a-Xj<a,由（II）得f（2a-X］）=f（a+a-X］）<f（x】）=0,X+Xn从而x°>2a.X］,于是_>a>2V+X由（I）知，f（2_2）>o.2点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（【）中通过求导,并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间.（II）通过构造函数g（x）=f（a+x）-f（a-x）,把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数g（x）当0<x<a时的最大值小于零即nJ.（Ill）要充分利用（【）（1【）问的结论.★己知函数/（x）=4111V-inx2（/w>0）.（I）若= 求函数/'（x）的单调递增区间；（II）若函数^（x）=/（x）-（7h-4）x,对于曲线y=g（x）上的两个不同的点N（土,g（易）），记直线MN的斜率为k,若k=g，（X。）,证明：xk+x2>2x°・【答案】（1）（0,2）（2）见解析【解析】试题分析"1）先确定函数定义域〈Q+切，再求导函数，进而求定义区间上导函数的零点2,最后列表分析导函数符号：当o<X<2时，确定单调增区间为（0,2）.〈2）极点偏移问题，关键构造函数；先转化所证不等式号希为g（五尹 因为g冲）一5■（查苔）=4（岫一1nxj）g4（岫一1nxj）g（5电一些毛+工］毛一石，所以转化研=山-半洛（。1）单调性，易得在（Lz）上单调递增，即得结论.试题解析"I）依题意，fr（x）=--x=^-X X X令广（工）>0,即2—»0,解得0<x<2j故函数/（》）的单调递增区间为（。2）.（II〉依题意，g（x）=/（对一（jh-4）x=41nx-一wd?+（4-时尤,2£（而）一艮（叱）=4（1吗一岫J一；川（£一殳）+（4-时（而一沔）=4（岫一屿）一:血（沔+改）3—五）+（4—功）（沔一与"£由题设彳y）=g"E=些土L顷"易）+（4-少X]—X-, Xj—X-y 2+ 8 x+X.A又g———-= -in-——+4-/W,V2JxL+x22.・.川）一对宇卜4（岫-蛀）二=工（虹-岫）-主国\ 2 ）I】-x2X]+x2x2-xk x2+凡2—-12—-13不妨设0<出〈易，1=圣.贝则瓦旦—xi *1旦+1%(f>l)・(f>l)・令力（/）=11令力（/）=11"（'_1）q>i）,则/?,（/）=（，_七>0,所以/（）在（1,+s）上单调递增,，+1'（'+1）-所以/i(r)>h(l)=o,故11舟-无迫+故11舟-无迫+1乙＞0.又因为〉。，因此ei’W>0,即g［片)<g，(x。).又由g'(x)=£-〃7X+(4-〃7)知g'(x)在(0,+8)上单调递减,A所以虹担>%,即x1+x2>2x0.★已知函数/(x)=ln(x+l)★已知函数/(x)=ln(x+l),1SW-x^-x（I）求过点（—1,0）且与曲线y=f{x）相切的直线方程;（II）设/?（x）=#（x）+g（x）,其中一为非零实数,y=/?（%）有两个极值点x^x2,且A<x2,求a的取值范围；（III）在（II）的条件下，求证:2从易）_入]>0.【答案】（1）x-ey+l=0（2）见解析【解析】试题分析；（1）设切点为（而,处），先根据导数几何意义得切线斜率等于切点处导数值*=—I,与+1再根据切点与点（-LO）连线的斜率等于切线斜率，列方程，解得气=仑-1,最后根据点斜式与切线方程，（2）由题意得导函数在定义区间上有两个不等的零点，即方程盘+（。-1）=0在（-1+8）上有两个不同的实根，即解得a的取值范围；<3）由为二改二后，化简不等式2五（改）一气>0得2（L十易）1b（沔十1）—习>0,构造函数r[x）=2（l十x）ln（x十1）—x,x?利用导数研究函数单调性：20在（0.1）±单调递增，确定r3）><0）=0,即证得结论.试题解析，（I）尸⑴二上x+1设切点为（布,处），则切线的斜率为k=-1—互+1点(与，为)在/(x)=h(x+l)±,/.*o=ln(j^+l)...ln(A°+l)=l,解得*0=。—1x°+lxQ+l・.・切线的斜率为上，..・切线方程为x—c，+1=0e(II)h(x)=af(x)+g(x)=aln(<x+l)+—x~-xxa 1 ^+(。一1)h(x)= +x-l= ,x>-l'7x+1 x+l当a-l>0时，即“21时，/?'(x)20,/?(x)在(—1,+s)上单调递增；当0V<<1时，由/?'(*)=0得，X］ ,x,=Jk-a,故/?(x)在(-上单调递增，在(-JT二万,JT二万)上单调递减，在(JTH,+o。)上单调递增：当。<o时，由//(x)=o得，Xo=Jj=京，机工)在)上单调递减，在(Jl-Q,+cO)上单调递增.当0v<<l时，/?(工)有两个极值点，即工］=-』1一。,¥=』1-。，即a的范［韦|是(0,1)(III)由(II〉知为+也=0,jqxj=。一1,由0<£j<l得，—1 <0^0<Xj<1由2威改)—而>。4»2页改)+羽>0 + >0沔=Jl-々,'.a=1—,即证明2(1—巴')】"习+1)+X—改>0即证明2(1+羽)地(羽+1)—改>0构造函数/(x)=2(1+x)血(工+1)-x,xe(0:l),汽a)=1+21e(1+*)>0』r(x)在Q1)上单调递增，又r(0)=0,所W/(x)>0在xe(O：1)时恒成立」即2(1+为)血(巧+1)-改>0成立.'.21u此一而