广东省揭阳市文彦中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析

广东省揭阳市文彦中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集，集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.在平面上，已知⊥，||=||=1，=+，若||＜，则||的取值范围是（） A． B． C． D． 参考答案：考点： 向量的模．专题： 平面向量及应用．分析： 根据⊥，=+，可知：四边形AB1PB2是一个矩形．以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系．设|AB1|=a，|AB2|=b．点O的坐标为（x，y），点P（a，b）．根据向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质即可得出．解答： 解：根据⊥，=+，可知：四边形AB1PB2是一个矩形．以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系．设|AB1|=a，|AB2|=b．点O的坐标为（x，y），点P（a，b）．∵||=||=1，∴，变形为．∵||＜，∴，∴1﹣x2+1﹣y2，∴．①∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2≤1．同理，x2≤1．∴x2+y2≤2．②由①②可知：．∵=，∴．故选：D．点评： 本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的定义、向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．3.已知集合，则（

）A．

B.

C．

D．参考答案：A4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．5π参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体，及球的直径和圆锥的底面半径和高，分别代入球的体积公式和圆锥的体积公式，即可得到答案．【解答】解：由三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体球直径为2，则半径为1，圆锥的底面直径为4，半径为2，高为3则V==故选：A5.记数列{an}的前n项和为Sn.已知，，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A6.设m，n为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中正确的是（）A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．若m?α，n?β，m∥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n参考答案：D【考点】四种命题；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】把选项中的符号语言还原为几何图形，根据空间中的平行与垂直关系，即可得出正确的选项．【解答】解：对于A，当直线m，n与平面α所成的角相等时，不一定有m∥n，∴A错误；对于B，当m∥α，n∥β，且α∥β时，m∥n不一定成立，∴B错误；对于C，当m?α，n?β，且m∥n时，α∥β不一定成立，∴C错误；对于D，当n⊥β，α⊥β时，n∥α或n?α，又m⊥α，∴m⊥n，D正确．故选：D．【点评】本题考查了几何符号语言的应用问题，解题时应注意符号语言与几何图形的应用，是基础题目．7.已知集合M={x|x＜2}，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N=R B．M∪?RN=R C．N∪?RM=R D．M∩N=M参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：N={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，则?RN={x|x≥1或x≤0}，则M∪?RN=R，故选：B8.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A

不合题意排除,

合题意排除

另：，

得：.9.如图，单位正方体中，下列说法错误的是（A）（B）若，则（C）若点在球心为的球面上，则点在该球面上的球面距离为（D）若，则三线共点参考答案：C10.若复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，则tanθ的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：B【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，可得cosθ，即可得出．【解答】解：∵复数z=sinθ﹣+（cosθ﹣）i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，cosθ﹣≠0，∴cosθ=﹣．则tanθ==﹣．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，，则角A的大小为

.参考答案：12.如图，A，B是圆O上的两点，且为OA的中点，连接BC并延长BC交圆O于点D，则CD=______________。参考答案：略13.函数在x=1处连续，则实数m=(A)；

(B)；

(C)；

(D)参考答案：D14.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则_____________________．参考答案：115.若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=x﹣y的最小值是

；u=的取值范围是

．参考答案：﹣2;.【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】画出满足条件的平面区域，由z=x﹣y得：y=x﹣z，当直线过（﹣2，0）时，z最小，u=表示过平面区域的点（x，y）与（1，﹣1）的直线的斜率，通过图象即可得出．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=x﹣y得：y=x﹣z，当直线过（﹣2，0）时，z最小，Z最小值=﹣2，u=表示过平面区域的点（x，y）与（1，﹣1）的直线的斜率，显然直线过（﹣2，0）时，u=﹣，直线过（，）时，u=﹣7，故答案为：﹣2，．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道中档题．16.已知复数，是z的共轭复数，则___________.参考答案：

17.已知等比数列{}中，各项都是正数，且成等差数列，则

参考答案：9略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4—1：几何证明选讲

如图，已知，过顶点A的圆与边BC切于BC的中点P，与边AB、AC分别交于点M、N，且CN=2BM，点N平分AC。求证：AM=7BM。参考答案：由切割线定理，有BP2＝BM·BA，CP2＝CN·CA．…………2分因为P是BC的中点，所以BM·BA＝CN·CA，又点N平分AC，所以BM·(BM＋AM)＝2CN2，………………6分因为CN＝2BM，所以BM·(BM＋AM)＝8BM2，所以AM＝7BM．…………………10分略19.已知函数f(x)=是定义在（-1，1）上的奇函数，且.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）证明f(x)在（-1，1）上是增函数；（Ⅲ）解不等式f(t-1)+f(2t)<0.参考答案：(1)解：是（-1，1）上的奇函数

又

（2）证明：任设x1、x2（-1，1），且则

，且

又

即 在（-1，1）上是增函数

（3）是奇函数

不等式可化为即

又在（-1，1）上是增函数有解之得

不等式的解集为

略20.（本小题满分13分）设的内角的对边分别为,.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.参考答案：（Ⅰ）解：因为,所以.由余弦定理得,,因此,.…………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知,所以,故或,因此,或.…………13分21.如图所示，四棱锥A﹣BCDE，已知平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，DE∥BC，BC=2DE=6，AB=4，∠ABC=30°．（1）求证：AC⊥BE；（2）若∠BCE=45°，求三棱锥A﹣CDE的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）利用余弦定理计算AC，得出BC⊥AC，再利用面面垂直的性质得出AC⊥平面BCDE，故而AC⊥BE；（2）过E作EF⊥BC，垂足为F，利用三角形知识求出EF，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB=4，BC=6，∠ABC=30°，∴AC==2，∴BC2+AC2=AB2，∴AC⊥BC，又平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AC?平面ABC，∴AC⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE，∴AC⊥BE．（2）解：过E作EF⊥BC，垂足为F，∵DE∥BC，∴EF⊥DE，∵BE⊥EC，∠BCE=45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴EF=BC=3，∴S△CDE==，∴VA﹣CDE===3．22.（13分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，∴b＞0且+b＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）