广东省揭阳市城关中学2023年高三数学理联考试卷含解析

广东省揭阳市城关中学2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则?等于（）A．﹣3 B．﹣ C．﹣或﹣3 D．±参考答案：B【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得x1?x2和x1+x2的值，进而根据直线方程求得y1y2的值，最后根据向量的计算法则求得答案．【解答】解：由+y2=1，得a2=2，b2=1，c2=a2﹣b2=1，焦点为（±1，0）．直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y=x﹣1．代入+y2=1得x2+2（x﹣1）2﹣2=0，即3x2﹣4x=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1?x2=0，x1+x2=，y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）=x1x2﹣（x1+x2）+1=1﹣=﹣，?=x1x2+y1y2=0﹣=﹣．故选B【点评】本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．2.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则等于(

)

A．

B．

C.

D.参考答案：D略3.若实数x，y满足约束条件，则的最大值是（

）A.－1 B.1C.10 D.12参考答案：C【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.

4.设，则等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C5.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（

）A．是偶数，

B．是奇数，

C.是偶数，

D．是奇数，参考答案：D6.已知函数，则=（）A． B． C． D．参考答案：B考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．分析： 首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值．解答： 解：因为＞0，所以f（）==﹣2，又﹣2＜0，所以f（﹣2）=2﹣2=；故选：B．点评： 本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量所属的范围，代入对应的解析式计算即可．7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若，则（

）A．2

B．

C.4

D．1参考答案：A根据，可以求得与的倍数关系，根据等比数列的性质，求得，从而求得的值.，即，所以，故选A.

8.函数y＝的图象可能是()图2－4参考答案：B9.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为(

) A．3 B．126 C．127 D．128参考答案：C考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答： 解：当输出的x=2时，执行循环体后，x=3，不满足退出循环的条件，当x=3时，执行循环体后，x=7，不满足退出循环的条件，当x=7时，执行循环体后，x=127，满足退出循环的条件，故输出的x值为127故选：C点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．10.若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y-1=0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为则=（

）A

B

C

D参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P(x，y)的坐标满足条件则点P到直线3x－4y－9＝0距离的最小值为_________．参考答案：2 略12.已知数列{an}中，an＞0，a1=1，an+2=，a6=a2，则a2016+a3=．参考答案：

【考点】数列递推式．【分析】根据数列递推公式求出a3，再由a6=a2，求出a2=a6=，而a2016=a503×4+6=a6，问题得以解决．【解答】解：an＞0，a1=1，an+2=，∴a3==，∵a6=a2，∴a6=，a4=，∴a6==a2，∵an＞0，解得a2=a6=∴a2016=a503×4+6=a6=，∴a2016+a3=，故答案为：13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.参考答案：214.若变量满足约束条件，且的最小值为4，则

参考答案：115.已知为直线的倾斜角，，则_______________.参考答案：16.函数的定义域是

.参考答案：略17.已知，函数的最小值______________.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

在平面直角坐标系中，A（1，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程

，为

（为参数）

，

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（2）以A（1，0）为极点，为长度单位，射线为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程.参考答案：略19.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点．（I）如图①，点M为椭圆C上的一点，N是MF1的中点，且NF2丄MF1，求点M到y轴的距离；（II）如图②，直线l：：y=k+m与椭圆C上相交于P，G两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出两个焦点的坐标，设出M点的坐标，由中点坐标公式求出N点的坐标，则有两向量的坐标，根据NF2丄MF1，由它们对应的数量积等于0即可求得M点的坐标，则点M到y轴的距离；（Ⅱ）设出P，Q点的坐标，根据OPRQ为平行四边形，把R的坐标用P，Q点的坐标表示，然后把替换后的R的坐标代入椭圆方程，再由直线方程和椭圆方程联立，利用根与系数关系求出两点P，Q的横坐标之和，代入上面的方程即可得到m与k的关系，由此可以求出m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由a2=2，b2=1，所以c2=a2﹣b2=1，所以c=1，则F1（﹣1，0），F2（1，0）设M（x0，y0），则MF1的中点为，，．∵MF1⊥NF2，∴，即，∴

（1）又有

（2）由（1）、（2）解得或（舍去）所以点M到y轴的距离为．（Ⅱ）设P（x1，y1）Q（x2，y2），∵OPRQ为平行四边形，∴x1+x2=xR，y1+y2=yR．∵R点在椭圆上，∴，即，即，化简得，

（3）．由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．由△＞0，得2k2+1＞m2

（4），且．

代入（3）式，得，化简得4m2=1+2k2，代入（4）式，得m≠0．又4m2=1+2k2≥1，解得或．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量在解析几何中的应用，训练了整体代换思想，训练了学生的计算能力，特别是（Ⅱ）中的坐标转换是解决该题的关键所在．此题属于难题．20.设是公差大于零的等差数列，已知，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和.参考答案：解：（Ⅰ）设的公差为，则解得或（舍）所以（Ⅱ）其最小正周期为，故首项为1；因为公比为3，从而

所以，故略21.（本小题满分12分）如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G（1）求证：圆心O在直线AD上；（2）若BC=2，求GC的长.参考答案：（I）证明：∵，∴………2分又，∴……………………4分又是等腰三角形∴是的平分线∴圆心在直线上………6分

（II）连接，由（I）知，是⊙的直径

∴，∴…