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广东省揭阳市南侨中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B“的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:A【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断;18:集合的包含关系判断及应用.【分析】先有a=3成立判断是否能推出A?B成立,反之判断“A?B”成立是否能推出a=3成立;利用充要条件的题意得到结论.【解答】解:当a=3时,A={1,3}所以A?B,即a=3能推出A?B;反之当A?B时,所以a=3或a=2,所以A?B成立,推不出a=3故“a=3”是“A?B”的充分不必要条件故选A.2.已知函数f(x)=﹣x2+2lnx的极大值是函数g(x)=x+的极小值的﹣倍,并且,不等式≤1恒成立,则实数k的取值范围是()A. B.C. D.参考答案:B【考点】6D:利用导数研究函数的极值.【分析】利用导数得出函数f(x)的极大值,再求出g(x)的极小值,得到关于a的方程即可得出a的值,通过对k﹣1分正负讨论,把要证明的不等式变形等价转化,再利用导数研究其极值与最值即可.【解答】解:f′(x)=,令f′(x)>0,解得:0<x<1,令f′(x)<0,解得:x>1,故f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,故f(x)极大值=f(1)=﹣1;g′(x)=,令g′(x)>0,解得:x>,令g′(x)<0,解得:0<x<,故g(x)在(0,)递减,在(,+∞)递增,故g(x)极小值=g()=2,由函数f(x)的极大值是函数g(x)的极小值的﹣倍,得:2?(﹣)=﹣1,解得:a=﹣1;令h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣x2+2lnx﹣x﹣,x∈[,3].则h′(x)=﹣2x+﹣1+=﹣,令h′(x)=0,解得x=1.当x∈[,1)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;当x∈(1,3]时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减.∴当x=1时,函数h(x)取得极大值h(1)=﹣3.h(3)=﹣+2ln3,h()=﹣e﹣2﹣,可知:h(3)<h().①当k﹣1>0时,对于?x1,x2∈[,3],不等式≤1恒成立,等价于k﹣1≥[f(x1)﹣g(x2)]max,∵f(x1)﹣g(x2)≤f(1)﹣g(1)=﹣3,∴k≥﹣3+1=﹣2,又k>1,∴k>1.②当k﹣1<0时,对于?x1,x2∈[,3],不等式≤1恒成立,等价于k﹣1≤[f(x1)﹣g(x2)]min,∵f(x1)﹣g(x2)≥f(3)﹣g(3)=﹣+2ln3,∴k≤﹣+2ln3,又∵k≤1,∴k≤﹣+2ln3.综上可知:实数k的取值范围是(﹣∞,﹣+2ln3]∪(1,+∞).故选:B.3.若,则等于A.2
B.0
C.-4
D.-2参考答案:C4.阅读如图所示的程序框图,则输出的S=()A.45
B.35C.21
D.15参考答案:D5.参考答案:A6.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则到另一焦点距离为
(
)A
B
C
D参考答案:D略7.若变量满足约束条件则的最大值为(
)A.
-3
B.1
C.
2
D.
3参考答案:D略8.以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程是() A. B. C. D. 参考答案:C【考点】双曲线的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】先求出椭圆的焦点与顶点即所求双曲线的顶点与焦点可知且焦点位置确定,即可求解双曲线的方程 【解答】解:∵椭圆的焦点在y轴上且a=7,b=,c==5 ∴椭圆的焦点为(0,5),(0,﹣5),顶点为(0,7),(0,﹣7) ∴双曲线的顶点(0,5),(0,﹣5),焦点(0,7),(0,﹣7) ∴a=5,c=7,b=2 ∴双曲线方程是 故选C 【点评】本题主要考查了利用椭圆与双曲线的性质求解双曲线的方程,解题的关键是熟练掌握椭圆与双曲线的性质,正确找出题中的相关量 9.我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”C的中心在坐标原点,F为左焦点,A,B分别为右顶点和是上顶点,则(
)A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案:D【分析】设出椭圆的方程,根据题意写出A,B,F的坐标,利用向量与向量乘积为0,得到.【详解】设椭圆的方程为,由已知,得则离心率即故答案选D【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质,属于基础题.10.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设表示不超过的最大整数,如,若函数,则函数的值域为
.参考答案:略12.关于二项式(x-1)2005有下列命题:①该二项展开式中非常数项的系数和是1;②该二项展开式中第六项为Cx1999;③该二项展开式中系数最大的项是第1002项;④当x=2006时,(x-1)2005除以2006的余数是2005.其中正确命题的序号是__________.(注:把你认为正确的命题序号都填上)参考答案:①④略13.函数的极大值点是_______,极大值是________。参考答案:2
16【分析】先求得函数的导数,求得函数的单调区间,由此求得函数的极大值点和极大值.【详解】依题意,故函数在或时,导数小于零,函数单调递减,在时,导数大于零,函数单调递增,故函数在处取得极大值.即极大值点为,极大值为.【点睛】本小题主要考查函数导数的求法,考查函数单调区间的求法,考查函数极值点和极值的求法,属于基础题.14.函数,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=_____参考答案:5函数f′(x)=3x2+2ax+3,又f(x)在x=-3时取得极值,∴f′(-3)=3×9-6a+3=0,解得a=5.
15.已知,,,,则__________(其中).参考答案:试题分析:第一个式子左边1个数的平方,右边从1开始,连续的2个整数相乘,再乘;第二个式子左边2个数的平方,右边从2开始,连续的2个整数相乘,再乘;第个式子左边个数的平方和,右边从开始,连续的2个数相乘,在乘,即为.考点:归纳推理的应用.16.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是_________.
参考答案:17.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(﹣1,0)的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于
.参考答案:不存在【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由题意设直线l的方程为my=x+1,联立得到y2﹣4my+4=0,△=16m2﹣16=16(m2﹣1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).利用根与系数的关系可得y1+y2=4m,利用中点坐标公式可得=2m,x0=my0﹣1=2m2﹣1.Q(2m2﹣1,2m),由抛物线C:y2=4x得焦点F(1,0).再利用两点间的距离公式即可得出m及k,再代入△判断是否成立即可.【解答】解:由题意设直线l的方程为my=x+1,联立得到y2﹣4my+4=0,△=16m2﹣16=16(m2﹣1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).∴y1+y2=4m,∴=2m,∴x0=my0﹣1=2m2﹣1.∴Q(2m2﹣1,2m),由抛物线C:y2=4x得焦点F(1,0).∵|QF|=2,∴,化为m2=1,解得m=±1,不满足△>0.故满足条件的直线l不存在.故答案为不存在.【点评】本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识,考查了推理能力和计算能力.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知数列{an}(n∈N*)的前n项的Sn=n2.(Ⅰ)求数列{an},的通项公式;(Ⅱ)若,记数列{bn},的前n项和为Tn,求使成立的最小正整数n的值.参考答案:【考点】等差数列的通项公式;数列与不等式的综合.【分析】(Ⅰ)当n≥2时根据an=Sn﹣Sn﹣1求通项公式,a1=S1=1符合上式,从而求出通项公式.,(II)由(I)求得的an求出bn,利用裂项求和方法求出数列{bn}的前n项和为Tn,解不等式求得最小的正整数n.【解答】解:(Ⅰ)∵Sn=n2当n≥2时,Sn﹣1=(n﹣1)2∴相减得:an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1又a1=S1=1符合上式∴数列{an},的通项公式an=2n﹣1(II)由(I)知∴Tn=b1+b2+b3++bn==又∵∴∴成立的最小正整数n的值为519.已知直线经过两点,.(1)求直线的方程;(2)圆的圆心在直线上,且过点和,求圆的方程.参考答案:(1)(2)设圆心为,则解得
20.求函数的单调区间和极值。
参考答案:
略21.已知函数f(x)=sinx﹣2sin2(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最小值.参考答案:【考点】三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;三角函数的最值.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】(1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2sin(x+)﹣,由三角函数的周期性及其求法即可得解;(2)由x∈,可求范围x+∈,即可求得f(x)的取值范围,即可得解.【解答】解:(1)∵f(x)=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin(x+)﹣∴f(x)的最小正周期T==2π;(2)∵x∈,∴x+∈,∴sin(x+)∈,即有:f(x)=2sin(x+)﹣∈,∴可解得f(x)在区间上的最小值为:﹣.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值的应用,属于基本知识的考查.22.已知,函数,,
.(I)求函数的单调递减区间;(Ⅱ)若在区间上至少存在一个实数,使成
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