广东省揭阳市侨场中学2021年高二数学文联考试卷含解析

广东省揭阳市侨场中学2021年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，一定成立的等式是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略2.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D3.下列属于相关现象的是（）Ａ．利息与利率

Ｂ．居民收入与储蓄存款Ｃ．电视机产量与苹果产量

Ｄ．某种商品的销售额与销售价格参考答案：B4.已知集合，，则A∩B=（

）A.[0,3] B.(0,3] C.[－1,+∞) D.[－1,1)参考答案：B集合，，则.故选B.5.用反证法证明“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（

）．A．方程至多有一个实根 B．方程至多有两个实根C．方程恰好有两个实根 D．方程没有实根参考答案：D否定词，至少有一个的否定为没有．6.圆上的点到直线的距离最大值是（

）A

B

C

D

参考答案：B略7.命题p：?x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：?x∈R，x≤1 B．￢p：?x∈R，x≤1 C．￢p：?x∈R，x＜1 D．￢p：?x∈R，x＜1参考答案：A【考点】命题的否定．【专题】整体思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：?x∈R，x≤1，故选：A【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．8.设集合，，，则图中阴影（（

）部分所表示的集合是

A. B.

C. D.参考答案：B9.“”是“直线与直线平行”的（

）A．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略10.若复数z满足

，则z的虚部为

A、

B、

C、

D、参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第个图有个树枝，则与之间的关系是．参考答案：略12.函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为．参考答案：{x|0＜x＜1}【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．【解答】解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣=令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}13.已知函数的图象上存在点P,函数的图象上存在点Q,且点P和点Q关于原点对称，则实数a的取值范围是________.参考答案：【分析】由题可以转化为函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象与函数y＝x2+2的图象有交点，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，利用导数法求出函数的值域，可得答案．【详解】函数y＝﹣x2﹣2的图象与函数y＝x2+2的图象关于原点对称，若函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象上存在点P，函数y＝﹣x2﹣2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则函数y＝a+2lnx（x∈[，e]）的图象与函数y＝x2+2的图象有交点，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，则f′（x），当x∈[，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，e]时，f′（x）＞0，故当x＝1时，f（x）取最小值3，由f（）4，f（e）＝e2，故当x＝e时，f（x）取最大值e2，故a∈[3，e2]，故答案为【点睛】本题考查的知识点是函数图象的对称性，函数的值域，难度中档．14.在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.设点是曲线上的一个动点,则点到直线的距离的最小值为

.参考答案：略15.已知椭圆两个焦点坐标分别是（5，0），（﹣5，0），椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为26，则椭圆的方程为

．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】由题意可得：c=5，并且得到椭圆的焦点在x轴上，再根据椭圆的定义得到a=13，进而由a，b，c的关系求出b的值得到椭圆的方程．【解答】解：∵两个焦点的坐标分别是（5，0），（﹣5，0），∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=5，∴由椭圆的定义可得：2a=26，即a=13，∴由a，b，c的关系解得b=12，∴椭圆方程是

．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，此题属于基础题．16.称集合A=的某非空子集中所有元素之和为奇数的集合为奇子集，问A共有

_

个奇子集。（用数字作答）参考答案：25617.曲线在点处的切线方程为______参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）若在区间上有两个极值点.（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）详见解析.【分析】（Ⅰ）求出，列表讨论的单调性，问题得解。（Ⅱ）（i）由在区间上有两个极值点转化成有两个零点，即有两个零点，求出，讨论的单调性，问题得解。（ii）由得，将转化成，由得单调性可得，讨论在的单调性即可得证。【详解】解：（Ⅰ）当时，，，令，得.的单调性如下表：

-0+

单调递减

单调递增

易知.（Ⅱ）（i）.令，则.令，得.的单调性如下表：

-0+

单调递减

单调递增

在区间上有两个极值点，即在区间上有两个零点，结合的单调性可知，且，即且.所以，即的取值范围是.（ii）由（i）知，所以.又，，，结合的单调性可知，.令，则.当时，，，，所以在上单调递增，而，，因此.【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查了分类思想及转化思想，考查了极值与导数的关系，还考查了利用导数证明不等式，考查计算能力及转化能力，属于难题。19.（1）已知等比数列{an}中，a1=﹣1，a4=64，求q与S4（2）已知等差数列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，求n及an．参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（1）由a1=﹣1，a4=64，可得﹣q3=64，解得q．利用求和公式即可得出．（2）等差数列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，可得﹣15=n+×，解得n，再利用通项公式即可得出．【解答】解：（1）∵a1=﹣1，a4=64，∴﹣q3=64，解得q=﹣4．∴S4==51．（2）∵等差数列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，∴﹣15=n+×，化为n2﹣7n﹣60=0，n∈N*，解得n=12．∴a12=+11×=﹣4．20.(本小题满分12分)相关部门对跳水运动员进行达标定级考核，动作自选，并规定完成动作成绩在八分及以上的定为达标，成绩在九分及以上的定为一级运动员.已知参加此次考核的共有56名运动员.（1）考核结束后，从参加考核的运动员中随机抽取了8人，发现这8人中有2人没有达标，有3人为一级运动员，据此请估计此次考核的达标率及被定为一级运动员的人数；（2）经过考核，决定从其中的A、B、C、D、E五名一级运动员中任选2名参加跳水比赛（这五位运动员每位被选中的可能性相同）.写出所有可能情况，并求运动员E被选中的概率.参考答案：（Ⅰ）依题意，估计此次考核的达标率为一级运动员约有（人）

（Ⅱ）依题意，从这五人中选2人的基本事件有：（A、B）（A、C）（A、D）（A、E）

（B、C）（B、D）（B、E）（C、D）（C、E）（D、E），共10个

其中“E被选中”包含：（A、E）（B、E）（C、E）（D、E）4个基本事件，因此所求概率

21.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/时）的函数解析式可以表示为，已知甲、乙两地相距100千米.（1）当汽车以40千米/时的速度行驶时，从甲地到乙要耗油多少升？（2）当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙耗油最少？最少为多少升？参考答案：解（1）当千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（（升），所以，当汽车以40千米/小时的速度行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升………………5分（2）设速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了时，设耗油量为升，依题意得，

……7分，令，得，当时，是减函数，当，是增函数，.∴当时，取得极小值.此时（升）

……12分当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升.………13分

略22.（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A（2，﹣2），B（1，1）两点，且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上．（1）求圆C的标准方程；（2）过圆C内一点P（1，﹣1）作两条相互垂直的弦EF，GH，当EF=GH时，求四边形EGFH的面积．（3）设直线l与圆C相交于P，Q两点，PQ=4，且△POQ的面积为，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】（1）求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线x﹣2y﹣2=0联立，求得圆心坐标，再求出圆的半径，即可求圆C的标准方程；（2）C到直线EF，GH的距离相等，设为d，求出d后，进而求出EF=GH，进而得到答案．（3）求出PQ=4，分类讨论，利用坐标原点O到直线l的距离为，即可求直线l的方程【解答】解：（1）因为A（2，﹣2），B（1，1），所以kAB==﹣3，AB的中点为（，﹣），故线段AB的垂直平分线的方程为y+=（x﹣），即x﹣3y﹣3=0，…由，解得圆心坐标为（0，﹣1）．…所以半径r满足r2=12+（﹣1﹣1）2=5．…故圆C的标准方程为x2+（y+1）2=5．…（2）∵EF=GH，∴C到直线EF，GH的距离相等，设为d

…则=1，即d=…∴EF=GH=2=3…∴四边形EGFH的面积S=×=9…（3）设坐标原点O到直线l的距离为h，因为△POQ的面积S==，∴h=．①当直线l与x轴垂直时，由坐标原点O到直线l的距离为知，直线l的方程为x=或x=﹣，经验证，此时PQ≠4，