广东省揭阳市下寨中学2021年高三数学文期末试题含解析

广东省揭阳市下寨中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60

（B）30（C）20

（D）10参考答案：D该几何体是三棱锥，如图：图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是，故选D.2.若函数f（x）=的最大值为f（﹣1），则实数a的取值范围（）A．[0，2e2] B．[0，2e3] C．（0，2e2] D．（0，2e3]参考答案：B【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求得f（﹣1），由题意可得alnx﹣x2﹣2≤﹣2+a在x＞0恒成立，讨论x的范围，分x=e，0＜x＜e，x＞e，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到a的范围．【解答】解：由f（﹣1）=﹣2+a，可得alnx﹣x2﹣2≤﹣2+a在x＞0恒成立，即为a（1﹣lnx）≥﹣x2，当x=e时，0＞﹣e2显然成立；当0＜x＜e时，有1﹣lnx＞0，可得a≥，设g（x）=，0＜x＜e，g′（x）==，由0＜x＜e时，2lnx＜2＜3，则g′（x）＜0，g（x）在（0，e）递减，且g（x）＜0，可得a≥0；当x＞e时，有1﹣lnx＜0，可得a≤，设g（x）=，x＞e，g′（x）==，由e＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）在（e，e）递减，由x＞e时，g′（x）＞0，g（x）在（e，+∞）递增，即有g（x）在x=e处取得极小值，且为最小值2e3，可得a≤2e3，综上可得0≤a≤2e3．故选：B．3.若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8﹣S3=10，则S11的值为（）A．12 B．18 C．22 D．44参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】设公差为d，由S8﹣S3=10可得a1+5d=2，代入S11=11a1+=11（a1+5d）运算求得结果．【解答】解：设公差为d，由S8﹣S3=10可得，8a1+﹣3a1﹣=10，故有a1+5d=2，∴S11=11a1+=11（a1+5d）=22，故选C．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，求出a1+5d=2，是解题的关键，属于中档题．4.若，则的值为（

）A.2

B.3

C.4

D.6参考答案：D5.若m、n是互不重合的直线，是互不重合的平面，给出下列命题：①若;②若;③若m不垂直于内的无数条直线;④若.其中正确命题的序号是

（

）A．①②

B．③④

C．②③

D．②④参考答案：答案：D

6.已知函数则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B7.设，则（

）A．a<b<c

B．a<c<b

C．b<c<a

D．b<a<c参考答案：D8.某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117

B．118

C．118．5

D．119．5参考答案：B略9.设奇函数在上是增函数，且．若函数，对所有的都成立，则当时，的取值范围是（

）A．

B．或或

C．

D．或或参考答案：答案：B10.在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为6，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}这个事件的测度为3，故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=（x2+ax+b）ex，当b＜1时，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均为增函数，则的取值范围是

．参考答案：（﹣3，﹣]

【分析】根据求导公式求出函数的导数，在根据二次函数图象求出a，b的取值范围，绘制出a，b的取值范围，根据线性规划求出其取值范围．【解答】解：由f′（x）=[x2+（a+2）x+a+b]ex函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）增函数，∴x2+（a+2）x+a+b＞0恒成立，∴，∴，画出满足条件的平面区域，如图所示：，由，解得B（1，1），由，解得C（﹣1，﹣1），结合图象的几何意义表示过A（2，﹣2）与平面区域内的点的直线的斜率，而KAB=﹣3，KAC=﹣，故的取值范围是（﹣3，﹣]，故答案为：（﹣3，﹣]．【点评】考察学生函数求导、二次函数的性质及线性规划问题，属于中档题．

12.若f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在［a-1,2a］上的偶函数，则a=

，b=

.参考答案：,013.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．（）下列函数中具有性质的有__________．① ②③ ④（）若函数具有性质，则实数的取值范围是__________．参考答案：（）①②④（）或（）在时，有解，即函数具有性质，①令，即，∵，方程有一个非实根，故具有性质．②的图象与有交点，故有解，故具有性质．③令，此方程无解，故，不具有性质．④的图象与的图象有交点，故有解，故具有性质．综上所述，具有性质的函数有：①②④．（）具有性质，显然，方程有根，∵的值域为，∴，解得或．14.已知函数的图象关于直线对称，且当时，若则由大到小的顺序是

▲

.参考答案：b>a>c15.函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是．参考答案：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}略16.已知函数，，若实数满足，则的大小关系为

.参考答案：m<n17.设不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为

．参考答案：25考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：作出区域D，解方程组可得顶点的坐标，可得两直角边的长度，由面积公式可得．解答： 解：作出不等式组表示的平面区域为D（如图阴影），易得A（﹣6，﹣2），B（4，﹣2），C（4，3），可得AB=10，BC=5，由三角形的面积公式可得区域D的面积S=×10×5=25故答案为：25点评：本题考查基本不等式与平面区域，涉及三角形的面积公式和两点间的距离公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知.(1）当，且有最小值2时，求的值；(2）当时，有恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1），

又在单调递增，

当，解得

当，

解得（舍去）

所以

(2），即

，，，，，依题意有

而函数

因为，，所以.19.（本小题满分14分）已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.参考答案：

20.已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点．（Ⅰ）求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）四边形EFGH的四个顶点都在曲线C上，且对角线EG，FH过原点O，若kEG?kFH=﹣，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值．参考答案：【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义，即可求P点的轨迹C的方程；（Ⅱ）不妨设点E、H位于x轴的上方，则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，求出面积，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：因为P在线段F2A的中垂线上，所以|PF2|=|PA|．所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|AF1|=4＞|F1F2|，所以轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，且c=1，a=2，所以，故轨迹C的方程．（Ⅱ）证明：不妨设点E、H位于x轴的上方，则直线EH的斜率存在，设EH的方程为y=kx+m，E（x1，y1），H（x2，y2）．联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，则．①由，得．②由①、②，得2m2﹣4k2﹣3=0．③设原点到直线EH的距离为，，④由③、④，得，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为．21.（本小题共13分）某校为了解学生寒假期间的学习情况，从初中及高中各班共抽取了名学生，对他们每天平均学习时间进行统计．请根据下面的各班人数统计表和学习时间的频率分布直方图解决下列问题：年级人数初一4初二4初三6高一12高二6高三18合计50

（Ⅰ）抽查的人中，每天平均学习时间为~小时的人数有多少?（Ⅱ）经调查，每天平均学习时间不少于小时的学生均来自高中．现采用分层抽样的方法，从学习时间不少于小时的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求这三个年级各抽取了多少名学生；（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的名学生中随机选取人进行访谈，求这名学生来自不同年级的概率．参考答案：(Ⅰ)由直方图知，学习时间为~小时的频率为，所以学习时间为~小时的人数为．……………4分(Ⅱ)由直方图可得，学习时间不少于小时的学生有人．（由人数统计表亦可直接得出36人）由人数统计表知，高中三个年级的人数之比为，所以从高中三个年级依次抽取名学生，名学生，名学生．

…8分（Ⅲ）设高一的名学生为，高二的名学生为，高三的名学生为．则从名学生中选取人所有可能的情形为（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），共15种可能．………10分其中（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），这种情形符合名学生来自不同年级的要求．…12分故所求概率为．…………………13分22.（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．参考答案：考点： 函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题： 导数的综合应用．分析： （1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．解答： 解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴