广东省惠州市龙城镇龙城第二中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试卷含解析

广东省惠州市龙城镇龙城第二中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2sinx，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x2﹣2sinx B．﹣x2+2sinx C．x2+2sinx D．x2﹣2sinx参考答案：A【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣2sinx，当x＜0时，﹣x＞0，带入化简可得x＜0时f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣2sinx，当x＜0时，则﹣x＞0，可得f（﹣x）=x2+2sinx=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣2sinx，故选：A．2.若直线的倾斜角满足，且，则它的斜率满足()A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A．﹣3B．﹣6C．D．参考答案：B4.化简结果为（

）A.a B.b C. D.参考答案：A【分析】根据指数幂运算法则进行化简即可.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题.5.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为

（

）A．，

B．，C．，

D．，参考答案：C略6.（5分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（） A． 若m⊥α，m⊥n，则n∥α B． 若m∥α，n∥α，则m∥n C． 若m?α，n∥α，则m∥n D． 若m、n与α所成的角相等，则m∥n参考答案：C考点： 空间中直线与直线之间的位置关系．专题： 阅读型；空间位置关系与距离．分析： 由线面的位置关系，即可判断A；由线面平行的定义和性质，即可判断B；由线面平行的定义和性质，再由m，n共面，即可判断C；由线面角的定义和线线的位置关系，即可判断D．解答： 由于直线m、n共面，对于A．若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，故A错；对于B．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行，故B错；对于C．若m?α，n∥α，由于m、n共面，则m∥n，故C对；对于D．若m、n与α所成的角相等，则m，n相交或平行，故D错．故选C．点评： 本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题和易错题．7.函数的最大值为________.参考答案：略8.函数的定义域是

（

）

A．B．

C．

D．参考答案：A略9.（5分）函数的周期，振幅，初相分别是（） A． B． C． D． 参考答案：C考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题： 计算题．分析： 本题的函数解析式已知，由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项解答： ∵函数∴振幅是2，初相是又x的系数是，故函数的周期是T==4π对照四个选项知应选C故选C点评： 本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，解题的关键是理解A，ω，φ的意义，根据解析式及相关公式求出此三个参数的值．本题是基本概念型题．10.在△ABC中，∠A=120°，，则的最小值是（

）A.2 B.4 C. D.12参考答案：C【分析】根据，，得到，，平方计算得到最小值.【详解】故答案为C【点睛】本题考查了向量的模，向量运算，均值不等式，意在考查学生的计算能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于

．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由正切的差角公式tan（α﹣β）=解之即可．【解答】解：tan（α﹣β）===，故答案为．12.抛物线形拱桥，桥顶离水面2米时，水面宽4米，当水面下降了1.125米时，水面宽为．参考答案：5m【考点】抛物线的简单性质．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3.125代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（﹣2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入D（x0，﹣3.125）得x0=2.5，故水面宽为5m故答案为：5m．13.设集合，，，则_____参考答案：略14.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为

．参考答案：考点： 直线与圆的位置关系．专题： 直线与圆．分析： 求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．解答： 圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为：．点评： 本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．15.已知=﹣1，则tanα=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．【解答】解：=﹣1，可得：，解得tanα=．故答案为：；16.关于平面向量、、，有下列三个命题：①若，则②若∥，则③非零向量和满足则与+的夹角为60°.④若＝(λ，-2)，＝(－3,5)，且与的夹角是钝角，则λ的取值范围是其中正确命题的序号为

。（写出所有正确命题的序号）参考答案：②17.给出下列命题：①函数图象的一条对称轴是②在同一坐标系中，函数与的交点个数为3个；③将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象；④存在实数，使得等式成立；其中正确的命题为

（写出所有正确命题的序号）．参考答案：①②略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)解关于x的不等式．

参考答案：19.如图，已知长方体底面为正方形，为线段的中点，为线段的中点.

(Ⅰ）求证：∥平面；(Ⅱ）设的中点，当的比值为多少时，并说明理由.参考答案：（I）为线段的中点，为线段的中点，

∥,

∥面.

(II）当时，

∴∥∴

∵∴∴矩形为正方形，∵为的中点，∴

∴20.已知f（x）是在R上单调递减的一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1．（1）求f（x）；（2）求函数y=f（x）+x2﹣x在x∈[﹣1，2]上的最大与最小值．参考答案：【考点】二次函数的性质；一次函数的性质与图象．【分析】（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＜0），由f[f（x）]=4x﹣1可得，解出a与b，即可得到函数解析式；（2）由（1）知，函数y=x2﹣3x+1，可得函数图象的开口方向与对称轴，进而得到函数函数在[﹣1，]上为减函数，在[，2]上为增函数．故可函数y=f（x）+x2﹣x在x∈[﹣1，2]上的最值．【解答】解：（1）由题意可设f（x）=ax+b，（a＜0），由于f[f（x）]=4x﹣1，则a2x+ab+b=4x﹣1，故，解得a=﹣2，b=1．故f（x）=﹣2x+1．（2）由（1）知，函数y=f（x）+x2﹣x=﹣2x+1+x2﹣x=x2﹣3x+1，故函数y=x2﹣3x+1图象的开口向上，对称轴为x=，则函数函数y=f（x）+x2﹣x在[﹣1，]上为减函数，在[，2]上为增函数．又由=，f（﹣1）=6，f（2）=﹣1，则函数y=f（x）+x2﹣x在x∈[﹣1，2]上的最大值为6，最小值为．21.已知直线:y=k(x+2)与圆O:相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S.

（1）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值.

参考答案：【解】：:如图,(1)直线议程原点O到的距离为弦长A.ABO面积(2)令

当t=时,时,

略22.已知直线l1的方程为，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2．（1）求直线l1和l2的交点坐标；（2）已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．参考答案：（1）(2,1)；（2）或【分析】（1）利用l1⊥l2，可得斜率．利用点斜式可得直线l2的方程，与直线l1和l2的交点坐标为（2，1）；（2）当直线l3经过原点时，可得方程．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：1，把交点坐标（2，1）代入可得a．【详解】解：（1）∵l1⊥l2，∴2．∴直线l2的方程为：y﹣0＝2（x），化为：y＝2x