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文档简介
广东省惠州市黄埠中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成的角的余弦值为()A.
B.C.
D.参考答案:C设如图所示,取的中点,的中点,的中点,连结,由于,且,故四边形是平行四边形,,由三角形中位线的性质可得,据此可得或其补角即为所求,且,,,由余弦定理可得:.据此可得AE,SD所成的角的余弦值为.本题选择C选项.
2.F1、F2是双曲线=1的焦点,点P在双曲线上,若|PF1|=9,则|PF2|=()A.1 B.17 C.1或17 D.9参考答案:C【考点】双曲线的简单性质.【分析】首先根据双曲线的标准方程求得a的值然后根据定义|PF1|﹣|PF2|=±2a求解.【解答】解:F1、F2是双曲线=1的焦点,2a=8,点P在双曲线上(1)当P点在左支上时,|PF1|﹣|PF2|=﹣2a,|PF1|=9,解得:|PF2|=17(2)当P点在右支上时,|PF1|﹣|PF2|=2a,|PF1|=9,解得:|PF2|=1故选:C3.在一次数学测验中,统计7名学生的成绩分布茎叶图如图所示,若这7名学生的平均成绩为77分,则x的值为(
)A.5
B.6
C.7
D.8参考答案:C4..设函数的图像在点处切线的斜率为,则函数的部分图像为
参考答案:B略5.我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦。若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O-ABC中,,S为顶点O所对面的面积,分别为侧面的面积,则下列选项中对于满足的关系描述正确的为(
)A. B.C. D.参考答案:C【分析】作四面体,,于点,连接,结合勾股定理可得答案。【详解】作四面体,,于点,连接,如图.即故选C.【点睛】本题主要考查类比推理,解题的关键是将勾股定理迁移到立体几何中,属于简单题。6.如果双曲线的半实轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率是
(
)
A.
B.
C.
D.2参考答案:B略7.圆心为,半径为的圆的标准方程为
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C8.用秦九韶算法求n次多项式,当时,求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为(
)A.
B.n,2n,n
C.0,2n,n
D.0,n,n参考答案:D9.定积分的值为A.e+2
B.e+1
C.e
D.e-1参考答案:C10.若以双曲线﹣=1(a>0)的左、右焦点和点(2,1)为顶点的三角形为直角三角形,则此双曲线的实轴长为()A.1 B.2 C.3 D.6参考答案:B【考点】双曲线的简单性质.【分析】由题意,以双曲线﹣=1(a>0)的左、右焦点和点(2,1)为顶点的三角形为直角三角形,可得(2﹣c,1)?(2+c,1)=0,求出c,即可求出a.【解答】解:由题意,以双曲线﹣=1(a>0)的左、右焦点和点(2,1)为顶点的三角形为直角三角形,∴(2﹣c,1)?(2+c,1)=0,∴4﹣c2+1=0,∴c=,∴2a=2=2.故选:B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为7人,则样本容量为_________人.参考答案:1512.函数的值域是
参考答案:略13.设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是
.参考答案:1【考点】双曲线的应用;双曲线的简单性质.【专题】计算题.【分析】设|PF1|=x,|PF2|=y,根据根据双曲线性质可知x﹣y的值,再根据∠F1PF2=90°,求得x2+y2的值,进而根据2xy=x2+y2﹣(x﹣y)2求得xy,进而可求得△F1PF2的面积.【解答】解:设|PF1|=x,|PF2|=y,(x>y)根据双曲线性质可知x﹣y=4,∵∠F1PF2=90°,∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣(x﹣y)2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为:1.【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系.14.已知函数f(x)=ax2+(a﹣3)x+1在区间[﹣1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是.参考答案:[﹣3,0]【考点】3W:二次函数的性质.【分析】通过当a=0时,当a>0时,当a<0时,分别判断函数的单调性,求解实数a的取值范围.【解答】解:当a=0时,f(x)=﹣3x+1,满足题意;当a>0时,函数f(x)在对称轴右侧单调递增,不满足题意;当a<0时,函数f(x)的图象的对称轴为x=﹣,∵函数f(x)在区间[﹣1,+∞)上单调递减,∴﹣≤﹣1,得﹣3≤a<0.综上可知,实数a的取值范围是[﹣3,0].15.过双曲线:的左顶点作斜率为的直线,若与双曲线的两条渐近线分别相交于点、,且,则该双曲线的离心率为
参考答案:16.命题“”的否定是
▲
.参考答案:17.函数f(x)=(x+1)(x﹣a)是偶函数,则f(2)=.参考答案:3【考点】函数奇偶性的性质.【专题】计算题;综合法;函数的性质及应用.【分析】由题意可得,f(﹣x)=f(x)对于任意的x都成立,代入整理可得(a﹣4)x=0对于任意的x都成立,从而可求a,即可求出f(2).【解答】解:∵f(x)=(x+1)(x﹣a)为偶函数∴f(﹣x)=f(x)对于任意的x都成立即(﹣x+1)(﹣x﹣a)=(x+1)(x﹣a)∴x2+(a﹣1)x﹣a=x2+(1﹣a)x﹣a∴(a﹣1)x=0∴a=1,∴f(2)=(2+1)(2﹣1)=3.故答案为:3.【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用,属于基础试题三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,PA⊥面ABCD,点Q在棱PA上,且PA=4PQ=4,AB=2,CD=1,AD=,∠CDA=∠BAD=,M,N分别是PD,PB的中点.(1)求证:MQ∥面PCB;(2)求截面MCN与底面ABCD所成的锐二面角的大小.参考答案:【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.【分析】向量法:对于(1)求证:MQ∥平面PCB,可求出线的方向向量与面的法向量,如果两者的内积为0则说明线面平行对于(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小,求出两个平面的法向量,然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系,求解;【解答】解:法一:向量法:以A为原点,以AD,AB,AP分别为x,y,z建立空间直角坐标系O﹣xyz,由,PA=4PQ=4,M,N分别是PD,PB的中点,可得:,∴,设平面的PBC的法向量为,则有:令z=1,则,∴,又MQ?平面PCB,∴MQ∥平面PCB;(2)设平面的MCN的法向量为,又则有:令z=1,则,又为平面ABCD的法向量,∴,又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角,∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为,法二:几何法:(1)取AP的中点E,连接ED,则ED∥CN,依题有Q为EP的中点,所以MQ∥ED,所以MQ∥CN,又MQ?平面PCB,CN?平面PCB,∴MQ∥平面PCB(2)易证:平面MEN∥底面ABCD,所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的二面角,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥平面MEN,过E做EF⊥MN,垂足为F,连接QF,则由三垂线定理可知QF⊥MN,由(1)可知M,C,N,Q四点共面所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角,,所以:,所以:;19.(本小题8分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上且经过点(--2,4).(I)求抛物线的方程;(II)求抛物线被直线2x+y+8=0所截得的弦长参考答案:
20.已知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn,且满足a2a3=45,a1+a4=14.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;(2)设(c为非零常数),若数列{bn}也是等差数列,请确定常数c的值,并求数列的前n项和Tn.参考答案:略21.(本小题满分15分)如图,在四棱锥中,底面是边长为1的菱形,,,,为的中点,为的中点,以A为原点,建立适当的空间坐标系,利用空间向量解答以下问题:(Ⅰ)证明:直线;(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离.参考答案:作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(3分)(1)
(5分)设平面OCD的法向量为,则即取,解得
(7分)
(9分)(2)设与所成的角为,
,与所成角的大小为
(13分)(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
由,得.所以点B到平面OCD的距离为(15分)22.(本小题满分12分)已知数列的前n项和为,⑴
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