广东省惠州市沙迳中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析

广东省惠州市沙迳中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的，，则输出的a=（

）A.2 B.3 C.6 D.8参考答案：C【分析】更相减损术求的是最大公约数，由此求得输出的值.【详解】由于更相减损术求的是最大公约数，和的最大公约数是，故输出，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查更相减损术求最大公约数，属于基础题.2.函数的图象大致是A． B．C． D．参考答案：C3.已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（）A.2 B. C. D.参考答案：D【分析】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值．【详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，由，可得，即，则，当时，的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．4.已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2=1的左、右焦点，点P为双曲线上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（

）A．1

B．2

C．4

D．参考答案：A不妨在双曲线右支上取点，延长，交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选A.

5.设f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，若x1＜0且x1+x2＞0，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）

B．f（﹣x1）=f（﹣x2）C．f（﹣x1）＜f（﹣x2）

D．f（﹣x1）与f（﹣x2）大小不确定参考答案：A试题分析：先利用偶函数图象的对称性得出f（x）在（﹣∞，0）上是增函数；然后再利用x1＜0且x1+x2＞0把自变量都转化到区间（﹣∞，0）上即可求出答案．试题解析：解：f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上是减函数故

在（﹣∞，0）上是增函数因为x1＜0且x1+x2＞0，故0＞x1＞﹣x2；所以有f（x1）＞f（﹣x2）．又因为f（﹣x1）=f（x1），所以有f（﹣x1）＞F（﹣x2）．故选

A．考点：奇偶性与单调性的综合．点评：本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．6.函数的导函数在区间上的图像大致是(

)A.

B.C.

D.参考答案：A7.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，，则f（log49）的值为（）A．﹣3 B． C． D．3参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，，可得f（log49）=f（﹣log49）=f（log4）==．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，，∴f（log49）=f（﹣log49）=f（log4）==，故选B．8.已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3参考答案：A【考点】四种命题．【分析】若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，我们易根据否命题的定义给出答案．【解答】解：根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故选A【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键．9.下列四个函数中,在（0,+∞）上为增函数的是

A.=3-

B.=

C.=

D．=

参考答案：C略10.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（

）（A）

（B）2

（C）

（D）3参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在数列中，已知，

.参考答案：

考点：1.数列的通项公式；2.等比数列的求和公式．12.已知正数x，y满足2x+y-2=0，则的最小值为

．参考答案：13.已知实数x，y满足若，则的最大值为_______.参考答案：略14.一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为

．参考答案：考点：球内接多面体．专题：立体几何．分析：求出正四棱锥底面对角线的长，判断底面对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．解答： 解：正三棱锥的边长为，则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体．所以正方体的体对角线为外接球的直径．正方体的边长为1，所以所求球的半径为：r=，所以球的体积为：V球=．故答案为：点评：本题是中档题，考查空间想象能力，注意正三棱锥和正方体的转化，正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点，考查计算能力．15.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式是

．参考答案：函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y＝，将所得的图像向左平移个单位得．16.函数的定义域为

．参考答案：17.如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的

取值范围是

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC⊥AD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.参考答案：19.(14分)如图,在直三棱柱中,，分别是的中点，且.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：平面.参考答案：证明:(Ⅰ)连接交于,连接.∵分别是的中点，∴∥且=,∴四边形是矩形.∴是的中点…………(3分)又∵是的中点,∴∥…………(5分)则由,,得∥…(7分)(注:利用面面平行来证明的,类似给分)(Ⅱ)∵在直三棱柱中，⊥底面,∴⊥.又∵,即⊥,∴⊥面………(9分)而面,∴⊥…………(12分)又,∴平面………(14分)20.已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝．（1）求矩阵A；（2）若A＝，求x，y的值．参考答案：21.若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a、c∈N*)满足：①f(1)＝5；②6<f(2)<11.(1)求a、c的值；(2)若对任意的实数x∈，都有f(x)－2mx≤1成立，求实数m的取值范围.参考答案：解：(1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5，∴c＝3－a.①又∵6<f(2)<11，即6<4a＋c＋4<11，②将①式代入②式，得－<a<，又∵a、c∈N*，∴a＝1，c＝2.(2)由(1)知f(x)＝x2＋2x＋2.解法一：设g(x)＝f(x)－2mx＝x2＋2(1－m)x＋2.①