广东省惠州市光明中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

广东省惠州市光明中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知=2，则的值为（

）A．

B．7

C．－

D．－7参考答案：A略2.已知复数z=（其中i为虚数单位），则z?=（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z的共轭复数，然后代入z?计算得答案．【解答】解：由z==，得，则z?=．故选：D．3.设则的关系是(

)A．

B．

C．

D．

无法确定参考答案：A4.则满足不等式的的取值范围为(

)A.

B.(-3,0)

C.[-3,0)

D.(-3,1)参考答案：B5.已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是A．

B．

C．4

D．6

参考答案：D略6.若,i为虚数单位,且,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.已知是平面，是两条不重合的直线，下列说法正确的是

(

)A.“若，则”是随机事件B.“若，则”是必然事件C.“若，则”是必然事件D.“若，则”是不可能事件参考答案：D略8.若集合A={x|x2﹣6x≤0，x∈N*}，则{x|∈N*，x∈A}中元素的个数（）A．3个 B．4个 C．1个 D．2个参考答案：A【考点】集合的表示法．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合A中的元素，从而求出集合{x|∈N*，x∈A}中的元素即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣6x≤0，x∈N*}={1，2，3，4，5，6}，x=1时：=4，x=2时：=2，x=4时：=1，则{x|∈N*，x∈A}中元素的个数是3个，故选：A．【点评】本题考察了集合的表示方法，是一道基础题．9.复数z=在复平面上对应的点位于

（

）(A)第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：A10.已知命题，那么是()A. B.C. D.参考答案：D【分析】利用全称命题的否定解答.【详解】由全称命题的否定得是.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，的等腰直角三角形与正三角形所在平面互相垂直，是线段的中点，则与所成角的大小为

参考答案：12.的展开式中，的系数为

。（用数字作答）参考答案：10略13.（不等式选讲）不等式对于任意恒成立的实数a的集合为

。参考答案：令，函数的几何意义为数轴上的点到点-1和2的距离和，所以函数在内的最大值在x=6时取到，，所以要满足题意需，即实数a的集合为。14.已知Sn是数列{an}的前n项和，且，则数列{an}的通项公式为

．参考答案：由，得，当时，；

当时，，

所以数列的通项公式为.故答案为．

15.已知则的值为

．参考答案：16.按右图所示的程序框图运算，若输入,则输出的=

参考答案：317.如图所示，直线与圆想切于点，是弦上的点，，若，则_______。参考答案：_______

得：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；（Ⅲ）试证明：.参考答案：解：（Ⅰ）由题…………2分故在区间上是减函数;…………3分（Ⅱ）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，…5分再取则故在上单调递增，而，…7分故在上存在唯一实数根，故时，时，故故…8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：令，………………10分又……12分即：………………14分19.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且∠ACB=π．（I）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．参考答案：考点：正弦定理；等差数列的性质．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用a，b，c的等差关系，用c分别表示出a和b，利用余弦定理建立等式求得c．（Ⅱ）利用正弦定理用θ的三角函数来表示出AC，BC，表示出三角形ABC的周长，化简整理后利用三角函数的性质求得周长的最大值．解答：解（Ⅰ）∵a、b、c成等差数列，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，∴，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7或c=2．又∵c＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC中，，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，又∵，∴，∴当即时，f（θ）取得最大值．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．学生熟练应用正弦和余弦定理的公式及变形公式是解题的基础．20.（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线ly=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．L4

【答案解析】（1）（2）解析：（1）解：由题意设椭圆的标准方程为，由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆的标准方程为；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，则又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴kADkBD=﹣1，即∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴∴7m2+16mk+4k2=0解得：，且均满足3+4k2﹣m2＞0当m1=﹣2k时，l的方程y=k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点所以，直线l过定点，定点坐标为【思路点拨】（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，从而可求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．21.（本小题满分12分）已知函数.(1)若直线l过点（1，0），并且与曲线相切，求直线l的方程；(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点，求a的取值范围.(其中a∈R，e为自然对数的底数)参考答案：解：（1）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0,切线的斜率为lnx0+1，所以切线l的方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），又切线l过点（1，0），所以有-x0lnx0=（lnx0+1）(1-x0)，即lnx0=x0-1，设h（x）=lnx-x+1，则，x∈（0,1），，h（x）单调递增，x∈（1,），，h（x）单调递减，h（x）max=h(1)=0有唯一解，所以x0=1，y0=0.所以直线l的方程为y=x-1.（4分）（2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，所以所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点.因为.所以由lnx+1-a<00<x<ea-1,x>ea-1,所以g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1，）上单调递增.（6分）①当ea-1≤1，即a≤1时，g（x）在（1,e]上单调递增，所以g（x）>g(1)=0.此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，（7分）②当1<ea-1<e,即1<a<2时，g（x）在[1,ea-1)上单调递减，在（ea-1,e]上单调递增，又因为g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e]上的最小值为g（ea-1）=a-ea-1，所以（i）当1<a≤时，g（x）在[1,e]上的最大值g（e）≥0，即此时函数g（x）在(1,e]上有零点.（10分）（ii）当<a<2时，g（e）＜0，即此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，③当e≤ea-1即a≥2时，g（x）在[1,e]上单调递减，所以g（x）在[1,e]上满足g（x）<g(1)=0，此时函数g（x）在(1,e]上没有零点.（11分）综上，所求的a的取值范围是a≤1或a>.(12分)

22.（本小题满分14分）函数.（I）函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；（II）讨论函数的单调性；（III）不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：（I）函数定义域为,，……1分，由题意，解得.……4分（II），令，，（i）当时，，,，函数f(x)在上单调递增；（ii）当时，，,函数f(x)在上单调递增；（iii）当时，，在区间上，,，函数f(x)单调递增；在区间上，,，函数f(x)单调递减；在区间上，,，函数f(x)单调递增；（iv）当时，，在区间上，，，函数f(x)单调递增.………………8分综上所述：当时，函数f(x)在区间上是单调递增；当时，函数f(x)在区间上单调递增；在区间上单调递减；在区间上单调递增.……9分法二：（i）当时，恒成立，函数f(x)在上单调递增；，令，，（ii）当时，，，函数f(x)在上单调递增；（iii）当时，，在区间上，，函数f(x)单调递增；在区间上，，，函数f(x)单调递减；在区间上，，函数f(x)单调递增.………………8分综上所述：当时，函数f(x)在区