广东省广州市第六十七中学2021-2022学年高二数学理联考试卷含解析

广东省广州市第六十七中学2021-2022学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0，当直线l被C截得弦长为2时，则a等于(

)A． B．2﹣ C．﹣1 D．+1参考答案：C【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】由弦长公式求得圆心（a，2）到直线l：x﹣y+3=0的距离等于1，再根据点到直线的距离公式得圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离也是1，解出待定系数a．【解答】解：圆心为（a，2），半径等于2，由弦长公式求得圆心（a，2）到直线l：x﹣y+3=0的距离为==1，再由点到直线的距离公式得圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离

1=，∴a=﹣1．故选C．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用．2.设全集，，，则等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C3.如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)=（

）

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知直线，平面，且，下列命题中正确命题的个数是①若，则

②若，则③若，则;

④若，则A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B5.已知随机变量η＝8--ξ，若ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是()

A．6和2.4

B．2和5.6

C．6和5.6

D．2和2.4参考答案：D6.已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（）A．－1<<2

B．－3<<6C．<－3或>6

D．<－1或>2

参考答案：C略7.,若,则的值等于（

）A

B

C

D

参考答案：D略8.已知椭圆C：的左右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如10≡2（bmod4）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）A．4 B．8 C．16 D．32参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=11，i=1i=2，n=13不满足条件“n=2（mod3）“，i=4，n=17，满足条件“n=2（mod3）“，不满足条件“n=1（mod5）“，i=8，n=25，不满足条件“n=2（mod3）“，i=16，n=41，满足条件“n=2（mod3）“，满足条件“n=1（mod5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：C．10.已知实数x，y满足不等式组，则z=3x﹣y的最大值为（）A．1 B．﹣ C．﹣2 D．不存在参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆x2+y2=4和圆外一点P（﹣2，﹣3），则过点P的圆的切线方程为．参考答案：x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0【考点】圆的切线方程．【分析】圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径r=2，当过P的切线方程斜率不存在时，x=﹣2为圆的切线；当过P的切线方程斜率存在时，设切线方程为kx﹣y+2k﹣3=0，圆心到切线的距离d==r=2，由此能求出切线方程．【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，当过P的切线方程斜率不存在时，x=﹣2为圆的切线；当过P的切线方程斜率存在时，设斜率为k，p（﹣2，﹣3），∴切线方程为y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0，∵圆心到切线的距离d==r=2，解得：k=，此时切线方程为5x﹣12y﹣26=0，综上，切线方程为x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0．故答案为：x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0．12.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率_______。参考答案：_

13.已知球的体积为36π，球的表面积是

．参考答案：36π【考点】球的体积和表面积．【分析】通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为球的体积为36π，所以=36π，球的半径为：r=3，所以球的表面积为：4π×32=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．14.在平面直角坐标系内，有四个定点A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为_________________.参考答案：

解析：设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值。15.数列1,2,3,4,5,…,n,的前n项之和等于

．参考答案：

16.若数列{}的前n项和Sn=n2－2n+3，则此数列的通项公式为*****

参考答案：略17.定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下命题：①函数g（x）=﹣2是函数f（x）=的一个承托函数；②函数g（x）=x﹣1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数；③若函数g（x）=ax是函数f（x）=ex的一个承托函数，则a的取值范围是[0，e]；④值域是R的函数f（x）不存在承托函数；其中，所有正确命题的序号是．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由f（x）=知，x＞0时，f（x）=lnx∈（﹣∞，+∞），不满足f（x）≥g（x）=﹣2对一切实数x都成立，可判断①；②，令t（x）=f（x）﹣g（x），易证t（x）=x+sinx﹣（x﹣1）=sinx+1≥0恒成立，可判断②；③，令h（x）=ex﹣ax，通过对a=0，a≠0的讨论，利用h′（x）=ex﹣a，易求x=lna时，函数取得最小值a﹣alna，依题意即可求得a的取值范围，可判断③；④，举例说明，f（x）=2x，g（x）=2x﹣1，则f（x）﹣g（x）=1≥0恒成立，可判断④．【解答】解：①，∵x＞0时，f（x）=lnx∈（﹣∞，+∞），∴不能使得f（x）≥g（x）=﹣2对一切实数x都成立，故①错误；②，令t（x）=f（x）﹣g（x），则t（x）=x+sinx﹣（x﹣1）=sinx+1≥0恒成立，故函数g（x）=x﹣1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数，②正确；③，令h（x）=ex﹣ax，则h′（x）=ex﹣a，由题意，a=0时，结论成立；a≠0时，令h′（x）=ex﹣a=0，则x=lna，∴函数h（x）在（﹣∞，lna）上为减函数，在（lna，+∞）上为增函数，∴x=lna时，函数取得最小值a﹣alna；∵g（x）=ax是函数f（x）=ex的一个承托函数，∴a﹣alna≥0，∴lna≤1，∴0＜a≤e，综上，0≤a≤e，故③正确；④，不妨令f（x）=2x，g（x）=2x﹣1，则f（x）﹣g（x）=1≥0恒成立，故g（x）=2x﹣1是f（x）=2x的一个承托函数，④错误；综上所述，所有正确命题的序号是②③．故答案为：②③．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）(1)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，用分析法求证：(2)先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．参考答案：(1)证明：要证，只需证b2－ac<3a2.∵a＋b＋c＝0，∴只需证b2＋a(a＋b)<3a2，只需证2a2－ab－b2>0，只需证(a－b)(2a＋b)>0，只需证(a－b)(a－c)>0.∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0，∴(a－b)(a－c)>0显然成立．故原不等式成立17.

19.（本小题满分12分）某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的，已知小明每次投篮投中的概率都是。（1）求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；（2）求小明在4次投篮后的总得分的分布列和期望。参考答案：（1）

…6分（2）E()=

…12分02468

p

20.函数（1）时，求最小值；（2）若在是单调减函数，求取值范围．参考答案：（1）时时时

单减，在单增时有最小值1

……………6分（2）在为减函数，则恒成立，最小值

……9分令则

……………12分18．（Ⅰ）证明：连结交于，连结，

略21.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆M交于B，C两点，，.已知椭圆M离心率，且点在椭圆M上.（1）求椭圆M的标准方程；（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线方程；（3）求△BCD面积的最大值.参考答案：（1）椭圆的标准方程为：.（2）设点坐标为，设点坐标为，则点坐标为，由题，可得：，即①，即②联立①②，化简整理得，，故点在定直线上运动.（3）由（2）可得，点的纵坐标为，又，则，所以，，当且仅当，即时，等号成立.22.从两块玉米地里各抽取10株玉米苗，分别测得它们的株高如下（单位：cm）： 甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640根据以上数据回答下面的问题：并用数据说明下列问题． （1）哪种玉米苗长得高？ （2）哪种玉米苗长得齐？ 参考答案：【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数． 【专题】概率与统计． 【分析】（1）求出甲、乙的平均数，比较即可得出结论． （2）求出甲、乙的方差，比较即可得出结论． 【解答】解：看哪种玉米苗长得高，只要比较甲乙两种玉米苗的平均高度即可； 要比较哪种玉米