广东省广州市新元中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

广东省广州市新元中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得S的最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物线准线y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：S==由抛物线定义=﹣1（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）≥﹣1=2故选D．2.已知程序框图如右图所示，则该程序框图的功能是

（

）

A．求数列的前10项和

B．求数列的前10项和

C．求数列的前11项和

D．求数列的前11项和

参考答案：答案：B3.若集合，，则（

）A．{1,2}

B．[1,2]

C．(1,2)

D．参考答案：A4.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点（1，0）的直线交圆于、D两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是

A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知函数满足：对定义域内的任意，都有，则函数可以是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C7.设集合，（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.同理3已知实数满足，则的最大值为（

）A．3

B．1

C．2

D．4参考答案：C9.《九章算术》是中国古代的数学瑰宝，其第五卷商功中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”翻译成现代汉语就是：今有三面皆为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体的隧道，前端下宽6尺，上宽一丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺（注：一丈=十尺）．则该五面体的体积为（

）A.66立方尺 B.78立方尺 C.84立方尺 D.92立方尺参考答案：C【分析】如图，在，上取，，使得，连接，，，，，计算得到答案.【详解】如图，在，上取，，使得，连接，，，，故多面体的体积，故选：C．【点睛】本题考查了几何体体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10.如图，把圆周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据动点移动过程的规律，利用单调性进行排除即可得到结论．【解答】解：当x由0→时，t从﹣∞→0，且单调递增，由→1时，t从0→+∞，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=．参考答案：

【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=，=，则=+，=+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出λ，μ，即可得出结论．【解答】解：设=，=，则=+，=+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，∴λ+μ=1，且λ+μ=1，解得λ=μ=，∴λ+μ=，故答案为：．【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，12.设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为____________．参考答案：3略13.若直线与圆没有公共点，则，满足的关系式为

；以为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有

个.参考答案：答案：，214.如图，圆上一点在直线上的射影为，点在半径上的射影为。若，则的值为

。

参考答案：由射影定理知【相关知识点】射影定理，圆幂定理15.若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为

．参考答案：4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】先画出满足条件的平面区域，求出A的坐标，结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得A（1，1）而z=x+3y可化为y=﹣x+，由图象得直线过A（1，1）时z最大，z的最大值是4，故答案为：4．【点评】本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．16.函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是

．参考答案：（﹣，1）【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．【解答】解：由，解得：﹣．∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．故答案为：（﹣，1）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．17.在边长为1的正三角形ABC中，，，若，则λ的值为

．参考答案：3【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】由确定点D是BC的中点，根据向量加法、减法、数乘运算，用、表示出和，由条件和数量积的运算化简=，即可求出λ的值．【解答】解：由题意画出图象如右图：∵，∴D为BC的中点，则=（+），∵，∴==﹣，∴=﹣=﹣﹣=（1﹣）﹣，∵=，∴（+）[（1﹣）﹣]=﹣，∴（1﹣）﹣+（1﹣）﹣=﹣，∴（﹣）﹣+（1﹣）=，∴（﹣）×1×1×﹣1+（1﹣）=，解得λ=3，故答案为：3．【点评】本题考查向量的数量积的运算，以及向量加法、减法、数乘运算及其几何意义，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点．

（Ⅰ）求出椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线与曲线C交于不同的A、B两点，且线段AB的中点在圆上，求的值．参考答案：略19.已知函数(1)当x∈时，求函数f(x)的最小值和最大值.(2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且c=f(C)=0，若向量m=(1,sinA)与向量n=(2,sinB)共线，求a,b的值．参考答案：略20.（本小题满分12分）

如图矩形ABCD中，AB=2BC=2,M是AB中点，沿MD将AMD折起，（1）在DC上是否存在一点N，不论折到什么位置（不与平面MBCD重合），总有∥平面?

（2）当二面角的大小为60°时，求四棱锥的体积参考答案：解：（1）当N为DC中点时，连结AN，BN,

∵MB∥DC,且MB=DC=DN,

∴MBND为平行四边形

∴MD∥BN,………2分又MD平面ABN，且BN平面ABN，因此∥平面………………4分

（2）取MD的中点E，连结AE,NE，取EN中点F，连结AF

∵由图1，在矩形ABCD中，AD=AM=1,∴AMND是正方形，

∴在图2中，AE⊥DM,

NE⊥DM，故∠AEN是二面角的平面角……6分

即∠AEN=60°，又AE=NE,∴△AEN是正三角形，所以AF⊥EN,又因为DM⊥AF,

∴DM⊥平面MBCD,易得，………10分

∴…12分略21.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是l，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程化为（x﹣1）2+y2=1，利用互化公式可得极坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得ρ1．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得ρ2．由θ1=θ2，可得|PQ|=|ρ1﹣ρ2|．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得ρ1=1．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得ρ2=3．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．22.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯．每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作．如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内．（1）恰有一套设备能正常工作的概率；（2）能进行通讯的概率．参考答案：【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）恰有一套设备能正常工作包含第一套通讯设备能正常工作且第二套通讯设备不能正常工作；第二套通讯设备能正常工作且第一套通讯设备不能正常工作，这两种情况是互斥的．（2）能进行通讯的对立事件是两套设备都不能工作，写出两套设备都不能工作的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二