广东省广州市环城中学2022年高三数学理月考试卷含解析

广东省广州市环城中学2022年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边作角，其终边与单位圆交于点，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B2.已知等比数列满足，则的值为（

）A．1

B．2

C.

D．参考答案：A3.某学生对函数f(x)＝x.cosx的性质进行研究，得出如下的结论：①函数y=f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点(，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；③函数y＝f(x)图象关于直线x＝π对称；④存在常数M>0，使｜f(x)｜≤M｜x｜对一切实数x均成立．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4参考答案：A①特值法。，，，故

递增错。②若关于中心对称，则，，，，故②错。③若函数y＝f(x)图象关于直线x＝π对称，则。，，，故③错。④当时，.当时，恒成立，.所以④正确。4.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为A. B.C. D.参考答案：D5.已知，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A．，∥

B．，∥C．∥∥，，共面

D．，，共点，，共面参考答案：A6.已知正实数，记m为和中较小者，则m的最大值为

__________。参考答案：略7.已知x、y满足+y2=1，则u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|的取值范围为（）A．[1，12] B．[0，6] C．[0，12] D．[1，13]参考答案：D【考点】绝对值三角不等式．【分析】由题意，令x=cosα，y=sinα，确定范围，去掉绝对值符号，再求出u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|的取值范围．【解答】解：由题意，令x=cosα，y=sinα，∴2x+y=2cosα+sinα=sin（α+θ）＜4，∴|2x+y﹣4|=4﹣2x﹣y，x+2y=cosα+2sinα=sin（α+β）＜3，∴|3﹣x﹣2y|=3﹣x﹣2y，u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|=4﹣2x﹣y+3﹣x﹣2y=7﹣3（x+y）=7﹣3（cosα+sinα）=7﹣6sin（α+60°），∴1≤u≤13，故选：D．8.在△中，角所对的边分别为，若，则△的面积等于A．10

B．

C．20

D．参考答案：B9.已知集合，，则集合A∩B中元素的个数为（

）A.5 B.4 C.3 D.2参考答案：C【分析】直接求出两集合的交集，找出交集的元素的个数即可．【详解】，，，8，10，12，，，，则集合A∩B中的元素的个数为3，故选：C．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知集合，，则A∩B=（

）A.(0,1]

B.[0,1]

C.

D.参考答案：C由解得，由解得，故，故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N为平面区域上的一个动点，则的最大值是_______.参考答案：

略12.数列{14－2n}的前n项和为Sn，数列{︱14－2n︱}的前n项和为Sn′，若Sn的最大值为Sm，则n≥m时，Sn′＝

参考答案：13.如图，正方体ABCD—的棱长为1，M是的中点，则下列四个命题：

①直线与平面所成的角等于45°；

②四面体在正方体六个面内的摄影图形面积的最小值为；

③点M到平面的距离是；④BM与所成的角为，其中真命题的序号是____________________。参考答案：答案:①②④解析:如图，①知直线BC与面所成的角即为∠,故①正确。②易知四面体在四个侧面的摄影图形面积均最小，为正方形面积之半，故②正确③点M到平面的距离，即为点到平面的距离。其等于，故③不正确。④易知BM与所成的角，即为BM与所成的角，设∠∠易知，，即，故④正确。14.双曲线(,)的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为

．参考答案：

15.已知向量，满足，，且在方向上的投影是，则实数m=__________参考答案：±2【分析】利用向量投影的计算公式可得关于的方程，其解即为所求的的值.【详解】在方向上的投影为，解得，故答案为：.【点睛】本题考查在方向上的投影，其计算公式为，本题属于基础题.16.已知平面向量a，b，c不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，则a＋b＋c与a的夹角是________．参考答案：60°略17.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_____

__.(用数字作答)参考答案：1.2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数m的取值范围.参考答案：解：（1），，即得，得.（2）∵，∴.∵，且存在实数使，∴.

19.浙江省某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：

信息技术生物化学物理数学周一周三周五（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随即变量的分布列和数学期望.

参考答案：解：（1）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则

--------3分（2）可能取值为0，1，2，3，4，5

-----------9分所以，随即变量的分布列如下012345P=-----------14分

20.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．参考答案：【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．21.（本题满分12分）已知数列的前n项和（n为正整数）．（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）令，，求．参考答案：解：（Ⅰ）在中，令，可得，即……………………1分当时，∴……2分∴，即∵，∴，即当时，又，∴数列是首项和公差均为1的等差数列…………4分于是，∴……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得……7分∴

①

②由①－②得……9分∴…………12分

22.已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦