广东省广州市太和中学高二数学文下学期期末试卷含解析

广东省广州市太和中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积，则边BC的长为(

)A． B．3 C． D．7参考答案：A【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题．【分析】由△ABC的面积，求出AC=1，由余弦定理可得BC=，计算可得答案．【解答】解：∵=sin60°=，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故选A．【点评】本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出AC=1，是解题的关键．2.曲线上的点到直线的最短距离是

（

）

0参考答案：A3.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6参考答案：D【考点】极差、方差与标准差．【分析】首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，xn，则=（x1+x2+…+xn），方差为s2=[（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]，每一组数据都加60后，′=（x1+x2+…+xn+60n）=+60=2.8+60=62.8，方差s′2=+…+（xn+60﹣62.8）2]=s2=3.6．故选D【点评】本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．4.已知双曲线（，）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（

）A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)参考答案：C已知双曲线双曲线（，）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，故选C【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A． B． C．2 D．3参考答案：D【考点】HR：余弦定理．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.已知集合,给出下列四个对应关系，其中不能构成从到的映射的是（）A．

B.

C.D.参考答案：D略7.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形参考答案：A8.曲线f(x)＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为()

A．(0，－1)或(1,0)

B．(1,0)或(－1，－4)C．(－1，－4)或(0，－2)

D．(1,0)或(2,8)参考答案：B9.已知A(1,－2,11)，B(4,2,3)，C(6,－1,4)，则△ABC是

（

）A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．等腰三角形参考答案：A略10.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是A.l1⊥l2，l2⊥l3l1∥l3

B.l1⊥l2，l2∥l3l1⊥l3C.l1∥l2∥l3l1，l2，l3共面

D.l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得

．参考答案：

12.已知数列满足，则的通项公式为

参考答案：13.某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为．参考答案：700米【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可求得AB的长【解答】解：由题意，如图，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°，∴AB=700米，故答案为：700米．14.

如图所示的流程图的输出结果为sum＝132，则判断框中？处应填________．参考答案：1115.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．参考答案：(x-1)2+y2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.与双曲线有共同的渐近线，且经过点M(-3，2)的双曲线的方程为

.参考答案：17.平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率

▲

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同的焦点F1，且两者的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在坐标原点。⑴

抛物线的方程和椭圆方程；⑵

设椭圆的另一个焦点是F2，经过F2的直线与抛物线交于P，Q两点，且满足，求m的取值范围。参考答案：解：（1）由题意可设抛物线方程为，把M点代入方程得：抛物线方程为……..2分所以F1（1，0），且经过点M，故设椭圆方程为，联立方程得

解得，故椭圆方程为……………………..6分（2）易知F2（-1，0），设直线的方程为y=k(x+1)，联立方程得，消去y得，因为直线与抛物线相交于P、Q两点，所以，解得-1<k<1且…………9分设P（）Q（），则，由得，所以，∵P、Q为不同的两点，∴，即，∴解得，∴………………..10分即，∵，∴，即所以m>0且………….12分19.已知抛物线E：的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，C两点（1）分别过A，C两点作抛物线E的切线，求证：抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直；（2）过点F作直线l的垂线与抛物线E交于B，D两点，求四边形ABCD的面积的最小值.参考答案：（1）设过点的直线方程为，，由

得，即.恒成立，则

-------2分设抛物线E在A、C两点处的切线的斜率分别为，由得令得，同理得

--------4分则.故抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直.

---------------6分（2）由（1）知，同理得，

------------------8分=32

-----10分当且仅当即时取等号∴四边形ABCD的面积的最小值为32.

---------------------12分20.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线相交于、两点，并且，求的值.参考答案：（Ⅰ）当时，可化为，由，得.经检验，极点的直角坐标（0,0）也满足此式.所以曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）将代入，得，所以，所以，或，即或.21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：面PAB⊥平面PDC． 参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题；空间位置关系与距离． 【分析】（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，证明EF∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD； （2）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC． 【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点． 所以在△CPA中，EF∥PA， 又PA?平面PAD，EF?平面PAD， 所以EF∥平面PAD； （2）平面PAD⊥平面ABCD 平面PAD∩面ABCD=AD?CD⊥平面PAD?CD⊥PA 正方形ABCD中CD⊥ADPA?平面PADCD?平面ABCD 又，所以PA2+PD2=AD2 所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD． 因为CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC 所以PA⊥面PDC 又PA?面PAB， 所以面PAB⊥面PDC． 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力． 22.在（1+x+x2）n=Dn0+Dn1x+Dn2x2+…+Dnrxr+…+Dn2n﹣1x2n﹣1+Dn2nx2n的展开式中，把Dn0，Dn1，Dn2，…，Dn2n叫做三项式系数．（1）当n=2时，写出三项式系数D20，D21，D22，D23，D24的值；（2）类比二项式系数性质Cn+1m=Cnm﹣1+Cnm（1≤m≤n，m∈N，n∈N），给出一个关于三项式系数Dn+1m+1（1≤m≤2n﹣1，m∈N，n∈N）的相似性质，并予以证明．参考答案：【考点】DB：二项式系数的性质；F3：类比推理．【分析】（1）由（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1，即可得出．（2）类比二项式系数性质Cn+1m=Cnm﹣1+Cnm（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三项式系数有如下性质：=++．（1≤m≤2n﹣1）．由于（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）n?（1+x+x2），即（1+x+x2）n+1=（1+x+x2）?（Dn0+Dn1x+Dn2x2+…+Dnrxr+…+Dn2n﹣1x2n﹣1+Dn2nx2n）．比较上式左边与右边xm+1的系数即可得出．【解答】解：（1）因为（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1，三项式系数D20