广东省佛山市四基中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

广东省佛山市四基中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，则“”是“”的（

）（A）充要条件

（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件

（D）既不充分又不必要条件参考答案：A略2.设集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0}，B={x|x＜0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣8，﹣1） C．[﹣1，0） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜0}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜0}=[﹣1，0）．故选：C．3.已知点、、、,则向量在方向上的投影为（

）A．

B．

C、

D．参考答案：A4.已知点M(a，b)在由不等式组确定的平面区域内，则点N(a＋b，

a－b)所在平面区域的面积是A．1

B．2

C．4

D．8参考答案：C令则有由点M(a，b)在由不等式组确定的平面区域内，得所以点N所在平面区域为图中的阴影部分．所以该平面区域的面积为S＝×4×2＝4．5.下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．y=log2x B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=﹣x3参考答案：B【考点】函数零点的判定定理；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据解析式判断单调性，再根据零点存在性定理判断即可得出答案．【解答】解：y=logx在（﹣1，1）有没有意义的情况，故A不对，y=x2﹣1在（﹣1，0）单调递减，故C不对，y=﹣x3在（﹣1，1）单调递减，故D不对，故A，C，D都不对，∵y=2x﹣1，单调递增，f（﹣1）＜0，f（1）＞0，∴在（﹣1，1）内存在零点故选：B【点评】本特纳考查了函数的单调性，零点的判断，函数解析式较简单，属于容易题．6.已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）A． B．（0，1] C．[0，1] D．参考答案：D【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数f（x）中两个函数解析式对称的图象，然后求出能使函数值为2的关键点，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数，∴函数f（x）的图象如下图所示：∴函数f（x）在[﹣1，k）上为减函数，在[k，a]先减后增函数，当﹣1＜k≤，x=时，，由于当x=1时，﹣x3﹣3x+2=0，当x=a（a≥1）时，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a故若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则a∈[1，]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，数形结合思想，难度中档．7.一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B【知识点】概率

K3解析：过点作于点，在中，易知，梯形的面积,扇形的面积，则丹顶鹤生还的概率，故选【思路点拨】几何概型，可分别求出各部分的面积再求出概率.8.已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有(

)A．f′（x）＞0，g′（x）＞0 B．f′（x）＞0，g′（x）＜0 C．f′（x）＜0，g′（x）＞0 D．f′（x）＜0，g′（x）＜0参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；导数的几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】由已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，又由当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，可得在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．又x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，知在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数由奇、偶函数的性质知，在区间（﹣∞，0）上f（x）为增函数，g（x）为减函数则当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0．故选B【点评】奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，这是函数奇偶性与函数单调性综合问题的一个最关键的粘合点，故要熟练掌握．9.已知是偶函数，在(－∞,2]上单调递减，，则的解集是A. B.C. D.参考答案：D【分析】先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.10.已知数列{an}满足an+12﹣2an+1an﹣3an2=0，a2=1，且an+1＞an，n∈N*，则{an}的前10项和等于(

) A．6（310﹣1） B．（310﹣1） C．6（1﹣310） D．（1﹣310）参考答案：B考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{an}满足an+12﹣2an+1an﹣3an2=0，因式分解为：（an+1﹣3an）（an+1+an）=0，且an+1＞an，n∈N*，可得an+1=3an，利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．解答： 解：∵数列{an}满足an+12﹣2an+1an﹣3an2=0，∴（an+1﹣3an）（an+1+an）=0，且an+1＞an，n∈N*，∴an+1=3an，又a2=1，∴a1=．∴数列{an}是等比数列，首项为，公比为3．∴{an}的前10项和==．故选：B．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、因式分解方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为

．参考答案：依题意，正方体的棱长为1；如图所示，当点为线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，截面为五边形，故线段的取值范围为12.已知△ABC的三边a，b，c满足+=，则角B=．参考答案：【考点】余弦定理．

【专题】解三角形．【分析】化简所给的条件求得b2=a2+c2﹣ac，利用余弦定理求得cosB=的值，可得B的值．【解答】解：△ABC的三边a，b，c满足+=，∴+=3，∴+=1，∴c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），即b2=a2+c2﹣ac，∴cosB==，∴B=，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，式子的变形是解题的难点，属于中档题．13.若是圆的任意一条直径，为坐标原点，则的值为

．参考答案：814.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.参考答案：15.已知且，若函数在的最大值为，则

，

．参考答案：

16.已知数列{an}满足.一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4,5，6.将这颗骰子连续抛掷两次，得到的点数分别记为a,b则满足集合（）的概率是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略17.为了解某校高中学生的近视情况，在该校学生中按年级进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生名、名、名，若高三学生共抽取名，则高一年级每位学生被抽到的概率是_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设直线与抛物线交于两点（点在第一象限）.（Ⅰ）求两点的坐标；（Ⅱ）若抛物线的焦点为，求的值.参考答案：解：（Ⅰ）由消得

……（3分）解出，，于是，，因为点在第一象限，所以两点的坐标分别为，

………（6分）（Ⅱ）抛物线的焦点为，由（Ⅰ）知，，，于是，

…（12分）略19.如图，已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据离心率，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点，求出几何量，即可求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）分类讨论，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简，若∠PNM=∠QNM，则kPN+kQN=0，即可得出结论．解答： 解：（Ⅰ）由已知，b=2，又，即，解得，所以椭圆方程为．…（Ⅱ）假设存在点N（x0，0）满足题设条件．当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x0∈R；…当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则则==…若∠PNM=∠QNM，则kPN+kQN=0即=0，整理得4k（x0﹣4）=0因为k∈R，所以x0=4综上在x轴上存在定点N（4，0），使得∠PNM=∠QNM…点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.（本小题满分i3分）在ABC中，a，b，c分剐是角A，B，C的对边，且。(I)求的值：(II)若，求ABC的面积．参考答案：21.已知。（1）求在上的最小值；（2）已知分别为△ABC内角A、B、C的对边，，且，求边的长。参考答案：（1）4分

∴当时；

7分（2）∵时有最大值，是三角形内角∴10分∵

∴

∵正弦定理

∴．

14分22.某工厂生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一件产品需要另外投入100元，市场销售部进行调查后得知，市场对这种产品的年需求量为1000件，且销售收入函数，其中t是产品售出的数量，且0≤t≤1000．（利润=销售收入﹣成本）（1）若x为年产量，y表示利润，求y=f（x）的解析式；（2）当年产量为多少时，工厂的利润最大，最大值为多少？参考答案：考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）根据利润=销售收入﹣成本，结合销售收入函数，可得分段函数；（2）分段求出函数的最值，从而可得工厂的利润最大值．解答：解：（1）根据利润=销售收入﹣成本，当0≤x≤1000时，t=x，可得y=﹣x2+1000x﹣20000﹣100x=﹣x2+900x﹣20000当x＞1000时，t=1000，y=﹣×10002+1