广东省佛山市叠滘中学2022年高一数学理联考试题含解析

广东省佛山市叠滘中学2022年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知若函数有三个不同的零点，则a的取值范围为（

）A．(0,1) B．(0,2) C．(1,3) D．(2,3)参考答案：A由题意可知：函数f（x）的图象如下：由关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数解，可知函数y=a与函数y=f（x）有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为（0，1）。故答案选A。

2.过点(1,2)，且与原点距离最大的直线方程是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A解析：

由分析可知当直线过点且与垂直时原点到直线的距离最大．因为，所以，所以所求直线方程为，即．3.若函数且在上既是奇函数又是增函数，则的图象是（

）参考答案：C4.下列函数中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2x+1参考答案：B【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】对四个选项分别利用函数奇偶性的定义判断f（﹣x）与f（x）的关系．【解答】解：四个选项的函数定义域都是R；对于选项A，（﹣x）3=﹣x3，是奇函数；对于选项B，|﹣x|+1=|x|+1；在（0，+∞）是增函数；对于选项C，﹣（﹣x）2+1=﹣x2+1，是偶函数，但是在（0，+∞）是减函数；对于选项D，﹣2x+1≠2x+1，﹣2x+≠2x+1，是非奇非偶的函数；故选B．5.已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递增，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：因为函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，所以2﹣a+3=0，所以a=5．所以，即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2），所以函数f（x）在[﹣3，0]上单调递减，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m﹣1）2﹣1＜0，所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得，，解得．故选：D6.函数y＝f(x)(x∈R)的图象如下图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调减区间是()参考答案：B7.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；确定直线位置的几何要素．【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．问题便可解答．【解答】解：对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；到终点后等待兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段．对于兔子，其运动过程可分为三段：开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快．分析图象可知，选项B正确．故选B．【点评】本题考查直线斜率的意义，即导数的意义．8.函数的零点所在的一个区间是

()A．(－2,－1)

B．(－1,0)

C．(0,1)

D．(1,2)参考答案：B9.函数的简图（）A．B．C． D．参考答案：B【考点】3O：函数的图象．【分析】根据三角函数的图形和性质进行判断即可．【解答】解：当x=0时，y=﹣sin0=0，排除A，C．当x=时，y=﹣sin=1，排除D，故选：B．10.函数的图象是图中的

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义：关于的不等式的解集叫的邻域．若的邻域为区间，则的最小值是_______．参考答案：12.给定集合与，则可由对应关系＝_________（只须填写一个

符合要求的解析式即可），确定一个以为定义域，为值域的函数．参考答案：，，13.奇函数上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则=．参考答案：－1514.定义集合运算:设,,则集合的所有元素之和为参考答案：615.已知数列是等差数列，a1=-9，S3=S7，那么使其前n项和Sn最小的ｎ是_____________.参考答案：5略16.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．参考答案：14π17.在等差数列中，为数列的前项和，若

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.参考答案：(1)法一：因为D1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D⊥BD.又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2.因此AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD.法二：因为D1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD⊥D1D.取AB的中点G，连接DG，在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD，又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形．因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB，又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°.故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°.所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1·又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD.(2)连接AC，A1C1.设AC∩BD＝E，连接EA1，因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝AC.由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形．因此CC1∥EA1.又因为EA1?平面A1BD，CC1?平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.19.某小区提倡低碳生活，环保出行，在小区提供自行车出租．该小区有40辆自行车供小区住户租赁使用，管理这些自行车的费用是每日92元，根据经验，若每辆自行车的日租金不超过5元，则自行车可以全部出租，若超过5元，则每超过1元，租不出的自行车就增加2辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x元只取整数，用f（x）元表示出租自行车的日纯收入（日纯收入=一日出租自行车的总收入﹣管理费用）（1）求函数f（x）的解析式及其定义域；（2）当租金定为多少时，才能使一天的纯收入最大？参考答案：【考点】函数最值的应用．【分析】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．【解答】解：（1）由题意：当0＜x≤5且x∈N*时，f（x）=40x﹣92

…（1分）当x＞5且x∈N*时，f（x）=[40﹣2（x﹣5）]x﹣92=﹣2x2+50x﹣92…∴…其定义域为{x|x∈N*且x≤40}…（6分）（2）当0＜x≤5且x∈N*时，f（x）=40x﹣92，∴当x=5时，f（x）max=108（元）

…（8分）当x＞5且x∈N*时，f（x）=﹣2x2+50x﹣92=﹣2（x﹣）2+∵开口向下，对称轴为x=，又∵x∈N*，∴当x=12或13时f（x）max=220（元）

…（10分）∵220＞108，∴当租金定为12元或13元时，一天的纯收入最大为220元

…（12分）【点评】本题考查学生的函数模型意识，注意分段函数模型的应用．将每一段的函数解析式找准相应的函数类型，利用相关的知识进行解决．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．（Ⅰ）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C），使得BM∥平面PAD？说明理由．参考答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不存在，理由详见解析.【分析】（Ⅰ）根据菱形的对角线互相垂直，再结合已知垂直条件，利用线面垂直的判定定理可以证明出平面；（Ⅱ）由面面垂直的性质定理和菱形的对角线互相垂直，可以得到，再根据菱形对角线互相平分，这样可以证明出；（Ⅲ）假设存在，根据菱形的性质和已知的平行条件，可以得到平面平面，显然不可能，故假设存在不成立，故不存在，命题得证.【详解】（Ⅰ）证明：因为底面是菱形，所以．因为，，平面，所以平面．（Ⅱ）证明：连接．由（Ⅰ）可知．因为平面平面，所以平面．因为平面，所以．因为底面是菱形，所以．所以．（Ⅲ）解：不存在，证明如下．假设存在点（异于点），使得平面．因为菱形中，，且平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面．这显然矛盾！从而，棱上不存在点，使得平面．【点睛】本题考查了菱形的几何性质、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，考查了推理论证能力.21.用“五点法”画出函数,的简图并写出它在的单调区间和最值参考答案：详见解析试题分析：根据五点法列表，五点分别为，用光滑曲线连接，根据图像可得函数的单调区间和最值.试题解析：：列表

x012101

画图：.............5分函数的单调递增区间为，递减区间为当时，取得最大值2，当时取得最小值0.....10分考点：1.五点法做图；2.三角函数的性质.22.（12分）已知函数．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性（2）判断并证明当x∈（﹣1，1）时函数f（x）的单调性；（3）在（2）成立的条件下，解不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．参考答案：考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题： 计算题；转化思想．分析： （1）由于函数的定义域为R，关于原点对称，故我们可利用函数奇偶性的性质判断方法来解答问题；（2）由函数f（x）的解析式，我们易求出原函数的导函数的解析式，结合x∈（﹣1，1），确定导函数的符号，即可判断函数的单调性；（3）结合（1）、（2）的结论，我们