早高峰电梯系统分析与优化

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）： 宁波工程学院参赛队员（打印并签名）：1.顾豪 郑启奔 施雪丹 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）： 数模组日期:2010年9月14日

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：早高峰电梯系统分析与优化摘要电梯系统直接关系到乘客与楼房管理者的利益。基于合理假设，本文将乘客到达大厅的时间间隔定为排队问题中服从指数分布的随机变量，并利用计算机产生服从参数为0.1252的指数分布的取值作为相连乘客的间隔时间。针对问题1一4,通过计算机模拟电梯系统，并作统计，对1—4问均作出了准确的回答：一位乘客等待电梯的平均时间为10.41s，最长时间为36.45s；在电梯中等待的平均时间为48.74s，最长时间为159.95s；从进入大厅直到他到达所要到的楼层的平均时间为49.58s，最长时间为159.95s。4部电梯停留次数分别为226,220，209，214次；实际使用时间的百分比分别为34.586%，34.925%，35.119%，35.878%。另外，在模拟电梯系统之后，本模型统计出了一些具有参考价值的数据，例如，对于4部电梯，其载客数量经常为1—3人。为电梯管理者改进电梯运行方案提供了十分重要的依据。在调整电梯系统中，考虑了三个方案：方案一：低楼层的乘客用楼梯来代替电梯；方案二：对电梯关门时间进行调控；方案三：对电梯的实际运送重新进行安排，分配，建立三个对比模型（1、将楼层进行奇偶分层；2、将楼层按电梯数进行分层；3、将楼层按电梯数的间隔来分层），并对第三个方案进行了具体的求解，最终得出模型三的方案是最优的。关键词：计算机模拟，排队问题，对比模型一、问题的提出城市繁华地区有一座12层的写字楼，共有800人在此上班工作，在高峰时间7：50-9：10，人们进入一楼大厅并乘电梯到所在的楼层，有4部电梯为大楼服务，乘客到达大楼的时间间隔在0-30秒内随机变化，到达后每个乘客进入第一部可乘的电梯（1-4号），当某人进入电梯后并选择达到楼层后，电梯在关门前等待15秒，如果另一个人在15秒内到达来，这种等待将重新开始，如果15秒内无人到达，电梯就把全体乘客送上去。假定中途没有其他乘客要上电梯。送完最后一个乘客后，电梯回到大厅，途中也不上客人。一部电梯的最大容量为12人，当一位乘客来到大厅，没有电梯可乘，就开始在大厅排队等待。写字楼的管理者希望提高优质服务，但目前有些乘客抱怨在电梯回来之前，他们在大厅等待的时间太长，也有人抱怨他们在电梯里呆的时间太长，还有人说高峰时间大厅太挤，实际情况如何呢？首先对该写字楼电梯系统做理论分析，然后用计算机模拟电梯系统，回答下列问题，：（1） 如果一个人的等待时间是他在排队的时间，即从到达大厅到进入一部可乘电梯的时间，问一个人在队中等待的平均时间和最长时间是多少？（2） 一位乘客实际上呆在电梯中的平均时间和最长时间是多少？（3） 如果运送时间是一位乘客从到达大厅到他到达要去的楼层的时间（包括等电梯的时间），问平均运送时间和最长的运送时间是多少？（4） 每部电梯停多少次？早高峰时间每部电梯实际上使用时间的百分比是多少？（5） 为了减少乘客的排队等待时间及运送时间，提高电梯的使用效率，应如何来安排、调整电梯运行系统？二、问题的分析对于前四个小题的求解，由于电梯系统中乘客的到达和乘客的运送都是复杂的随机过程，因此，电梯系统是一个极为典型的提供成批服务的随即服务系统，对于此类问题的可以用蒙特卡洛方法进行计算机模拟来解决。若假设乘客进入一楼大厅的时间在高峰时间7：50-9：10是均匀分布的，则可以用计算机随机产生乘客进入一楼大厅的时间，并对其进行排序，由此求出相邻两个时刻之间的间隔^t，并求出其均值r，通过理论分析可知At服从参数为-的指数分布。计算机按求得的指数分布，随机产生乘客到达一楼大厅的时间r间隔，经过累加得到乘客到达一楼大厅的时刻。结合题中给出的信息，假设800名工作人员的上班地点均匀分布在2-12楼，由电脑按均匀分布产生乘客的目标楼层，再由电脑模拟电梯系统，统计数据，即可解出前四个小题。对于第五小题，考虑到高峰期电梯运送的不平衡，对电梯运送模式重新进行定义：如奇偶分层，按电梯数进行分类等等。如果可以的话对电梯的软件控制进行修改（调控电梯关门的时间）。楼层低的乘客还可以通过走楼梯来缓解这个压力。

三、基本假设电梯限载12人，但对总载重无限制；乘客都是单独进入大厅的；乘客的工作单位在2-12楼层均匀分布；在目标层已选的情况下，乘客进入电梯后不再重复选择；若第十二个乘客进入电梯并选择新楼层，则电梯需再等15秒;若有多部可乘电梯，乘客作出任意选择。四、定义符号说明h:楼层的高度；n电梯匀速运行时的速度；T:，方案的总耗时；i七：电梯实际上经过m层楼的次数；m":第i种方案中第j部电梯的目标层；Tj乘客出电梯的时刻；T:从第i种方案中第j部电梯的目标层启动的时间;mijt:加速到第m层楼的时间。五、模型的分析、建立5.1指数分布的参数确定[1]乘客进入一楼大厅的时间在高峰时间7：50-9：10是均匀分布的，首先用计算机随机产生乘客进入一楼大厅的时间，并对其进行排序，由此求出相邻两个时刻之间的间隔，得到时间间隔的均值r。乘客到达大厅的时间间隔服从参数为人的指数分布（其中1=R），设乘客人到达大厅的时间间隔为X，则随机变量X的密度函数为f(xf(x)二人e一人x,〈[0,x>0;xV0,根据随机变量X的密度函数，用计算机模拟出乘客到达一楼大厅的时间间隔，经过累加得到乘客到达一楼大厅的时刻。5.2计算机模拟流程图

图1计算机模拟流程图在计算电梯运行时间时，本文将电梯运行过程分为：匀加速运动，匀速运动，匀减速运动三部分，查找相关资料得到具体参数如下：电梯匀速时的速度［2］v=2.5mfs；加速度⑶。=1.2ms2；楼层高度⑷h=3.85m。根据流程图，用MATLAB进行编程，通过计算机模拟电梯系统，并作统计，即可得出1-4题的答案。5.3电梯运行方案优化方案一：低楼层的乘客用楼梯来代替电梯，这样能减少一部分的乘客的等待时间，使电梯的运送效率增加。从电梯角度来说，低楼层电梯的速度比较慢，时间较长，而如果从一定楼层开始运送后，能使电梯速度增加，乘客等待的时间可以减少。方案二：电梯的关门需要15秒，发现耗时太长，如果可以的话对电梯的软件控制进行修改（调控电梯关门的时间）。通过摄像头等操作，当发现乘客饱和时即可关门。方案三：对电梯的实际运送重新进行安排，分配，建立三个模型，并和电梯前几问中的运送模型进行对比。考虑电梯运送的时间和出电梯的时间，以及电梯下楼的时间。得出一个总时间T（i=1,2,3,4）。并通过这个总时间的对比，得出i电梯用哪种方案比较合适。由于电梯速度的加快，可以间接地减少等待时间。模型一：将楼层进行奇偶分层，然后求出此模型的总时间：T=xt+8xt+T+T+T+T+ZxTTOC\o"1-5"\h\z1 11 mmm'm'm' m' mp11 12 13 14 尸m=2 m=1模型二：将楼层按电梯数进行分层（例如：1—3层用电梯1），然后求出此模型的总时间：T=8xt+xt+T+T,+T+T+8xT2 mm11m；1 m'22 m'& m24 mpm=2 m=1模型三：将楼层按电梯数的间隔来分层（例如：1—5—9用电梯1，2—6—10用电梯2），然后求出此模型的总时间：T=8xt+xt+T+T+T+T+8xT3 mm11 m；］ m；? m33mmpTOC\o"1-5"\h\zm=2 m=1原问题中的模型：T=xt+8xt+T+T+T+T+8xT0 11 mmm' m' m' m' mpc 01 02 03 04 "m=2 m=1六、模型的求解1、计算机模拟求解通过计算机模拟，得到各乘客进入电梯时刻。其中第101至第200位乘客具体情况如下表所示：

表1部分乘客乘电梯的详细情况乘客编号进入大厅时刻进入电梯时刻目标楼层夏丕是否需要排队乘客编号进入大厅时刻进入电梯时刻目标楼层夏丕是否需要排队101655.41655.416否1511076.31076.33否102656.16656.167否1521085.31085.312否103683.26683.262否1531087.31087.37否104688.49688.4912否154109510953否105693.11693.118否1551102.21102.29否106711.66713.2112是1561108.31108.310否107725.5725.510否1571109.91109.93否108743.73743.7310否1581114.91114.912否109755.72755.729否1591122.31122.311否110758.68758.689否1601123.11123.12否111765.08765.085否1611123.41123.45否112767.77767.772否1621123.41123.411否113775.43775.439否163114711477否114780.02780.027否164116211626否115788.04788.043否1651163.21163.210否116798.32798.329否1661172.61172.612否117800.19800.195否1671182.51182.512否118805.73805.7310否168118511856否119808.89808.897否1691188.41188.410否120823.28827.746是1701193.41193.44否121826.03827.742是1711199.81199.86否122828.68828.683否1721203.91203.96否123845.23845.2310否173120912092否124846.02846.022否1741209.51209.52否125848.04848.048否1751214.91214.94否126858.72858.7210否1761214.91214.96否127860.56860.565否1771217.11217.14否128870.6870.66否1781231.31231.312否129883.01883.0112否1791248.21248.24否130890.94890.948否1801255.21255.29否131908.79908.797否1811261.71261.76否132918.25918.2511否1821268.61268.610否133918.81918.815否1831271.31271.312否134922.66922.669否1841283.21283.23否135939.57940.175是1851289.11289.110否136945.11945.116否1861290.51290.53否

137967.23976.715是1871297.11297.15否138989.4989.42否1881313.41313.48否1391013.41013.45否1891317.11317.16否1401013.91013.98否1901318.21318.211否1411021.21021.24否1911324.31324.38否1421039.81039.89否192135413546否1431043.61043.63否1931357.21357.211否1441043.81043.86否1941366.91366.912否1451050.91050.912否1951369.61369.611否1461053.51053.57否1961376.11376.110否1471056.31056.39否1971377.31377.32否1481058.41058.46否1981386.31386.311否1491065.81065.83否1991387.61387.62否1501066.81066.83否2001395.91395.910否客需等待电梯。4部电梯该日高峰期总载客次数统计如下:图2四部电梯载客次数第一部电梯载客数量频数第二部电梯载客数量频数可以看出，该写字楼电梯系统运行状况良好，以上100名乘客中只有5名乘客需等待电梯。4部电梯该日高峰期总载客次数统计如下:图2四部电梯载客次数第一部电梯载客数量频数第二部电梯载客数量频数

第三部电梯载客数量频数 第四部电梯载客数量频数图3四部电梯载客数量频数分布图下表列出了电梯1高峰时期共49次载客的具体停留楼层与停留次数：表2电梯1停留楼层详情载客次数2楼3楼4楼5楼6楼7楼8楼9楼10楼11楼12楼停留次数1100000000001201100000100330011000000134001001000103501101100111760010000010137000001000001810000010001390000000100011011001000000311000000000101121001000000021301000101000314000011000002150010100110151610000000010217000010001114180011000000021911001110100620000000000101210001010100032200100000000123010001101105240000000100012510010011000426001000110003

27001000000001280010001001032910000001000230010000001002310000010010023210000010100333000110100104340100010011043500000010000136000100100002371000111001163800001001100339100000000001400000000010014100000011011442000000001001431010001010154401100101100545100000001002460010100100034700001101110548111101011018491101111111110其中，1代表相应楼层要停留，0代表不停留。另外，四部电梯相连两次停留楼层差分布情况如下图所示:1 2 3 6 6 7B9 1011图4四部电梯相连两次停留楼层差分布图可以看出，该写字楼电梯载客时常出现只上升1层的状况。对于问题1，模拟某一天电梯系统结果如下：总等待人数：54人；

总等待时间：562.15s；平均等待时间：10.41s；平均等待时间（含不需要等待的人）：0.84s；最长等待时间：36.45s；模拟100天后各自取平均值结果如下：平均等待时间：10.51s最长等待时间：33.13s对于问题2、3、4，模拟得出结果如下：乘客实际上位于电梯内的平均时间为48.74s，最长时间为159.95s；运送时间平均值为49.58s，最长时间为159.95s；第1-4部电梯停留次数分别为226，220，209，214次；使用时间分别为1660.1，1676.4，1685.7，1722.1s；使用时间百分比分别为34.586%，34.925%，35.119%，35.878%.2、三种方案求解考虑到电梯在运行的过程中为先加速再匀速最后再减速，对电梯运行时间进行了求解，并做如下规定，只有一层时，只进行加速，和减速，没有匀速过程，而两层或两层以上时，就开始有匀速加速的过程了。根据这个对电梯运行的时间进行了求解:只有一层时：h=1_at'2+!at'2211 222t_j也Jit_j也Ji+J2a,

解得：1vaa+a2 aa+a2；12 1V12 2，，t=t+11 1 2两层或两层以上时：mh=1-at'2+vtf+Latf22134225回=v t=mh+=+_v_at'=v 解得：mv2a2a2512t=tf+1f+1'lm3 4 5tttttt由上述分析可得如下不等式：tttttt（1）_L〉卫〉_a〉_X〉_5〉_6〉二〉_8〉_9〉_10〉_11（1）1234567891011；对方案三中的式子进行联立得到:

T=xt+Zxt+T+T+T+T+ZxTTOC\o"1-5"\h\z0 11 mm m' m' m' m' mp01 02 03 04m=2 m=1T=xt+Zxt+T+T+T+T+ZxT11 mm m' m' m' m' mp11 12 13 14m=2 m=1xTmpm=1+ZxTmpm=1(2)T=xt+xt+xTmpm=1+ZxTmpm=1(2)mm11m' m' m' m'21 22 23 24m=2T=Zxt+xt+T+T+T+Tmm11 m31 m32 m33 m34m=2因为各种方案得到的总的楼层数s是一样的，所以对每个乘客对应的楼层数y有：m Zy=s （3）m由于方案的不同，电梯在实际运行中xm的次数是不同的，联立（1）（2）（3）得：T>T>T>T，所以得出的新的运送方案为：3 1 2 0 -. 方案电梯、新运送方案电梯11-—5——9电梯22——6——10电梯33——7——11电梯44——8——12七、结果分析计算机模拟并没有理论计算精确，但其模拟结果更符合实际情况。实际上，对于电梯运行方案在理论上进行优劣评判是十分困难的，因此，能否通过计算机模拟电梯运行过程，得出实际而且可靠的结果显得尤为重要。本模型对模拟电梯系统运转设计了合理而又正确的流程图，不仅对问题1-4作出了圆满的回答，同时保留了模拟过程中的各个具体数据，通过对数据的统计，可以得出许多具有参考价值的结果，为电梯管理员优化电梯运行方案提供了重要的参考依据。而问题5求解的答案和运送方案在实际中也可以实现的，可以提高电梯的效八、模型推广、评价与改进此问题还可以推广到m个电梯，n层楼的情况，也可以通过建立类似于问题5中的模型来进行分类。从而提高在高峰期电梯的使用率，使乘客排队时间和运送时间缩短。而在本题中，假设了乘客在每层楼都是均匀分布的，这简化了这道题的求解，但和实际情况相比，有些不太相符。当考虑到实际情况时，每层楼的人数不一定是统一的，而且只考虑上楼人数，中途不上楼，但实际中更多的可能确实中途上楼。这时可以借助计算机模拟来进行具体的模拟，求解。而且根据实际人数的不同，最终得到的方案可能也会不同。也可以把模型推广到对新建写字楼的电梯交通设计中，用计算机计算出不同数量和不同额定容量的电梯系统在不同的服务强度下的平均队长、平均等待和服务台的平均占有率，并根据结果画出对应的曲线，得到较优的设计。现实中，电梯运行高峰期不止只有这么一段时间，还有下班的高峰期和平常期，可以根据实际情况，不同时刻，对电梯的运行采用不同的方案。参考文献：茆诗松，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社，2004.7；中国菱电股份有限公司，《多层次微电脑省电智慧型电梯》，.tw/images/p3/Download/HGPS4-5.pdf，2010.8.16；佚名，《交流双速电梯的加速，启动，满速，减速过程!》，/question/76609373.html，2010.8.16；远洋.光华国际，《楼盘信息》，/newhouse/15388/material/，2010.8.16.姜启源，《数学模型》，高等教育出版社，2003.8.附件附件一：确定指数分布均值的MATLAB程序代码forj=1:1000x=4800*rand(1,600);x=sort(x);fori=1:599derta(i)=x(i+1)-x(i);endmiu(j)=mean(derta);endmiu0=mean(miu)附件二：模拟电梯运行的MATLAB程序代码clear;clcmiu0=7.9869;i=1;time=0;whiletime<4800x(i)=exprnd(miu0);whilex(i)>30x(i)=exprnd(miu0);endtime=time+x(i);i=i+1;endx=x(1:length(x)-1);%hist(x,40)mean(x) %由于乘客到达的时间间隔不允许超过30s，所以实际期望值小于miu0d=length(x) %实际乘客总数大致600-700人之间%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x=cumsum(x)';fori=1:dx(i,2)=floor(2+11*rand); %确定第i位乘客目标楼层endflag=0;y=zeros(4,3);i=1;g=ones(1,4);g1=ones(1,4);louceng=zeros(4,12);forj=1:dform=i:jfork=randperm(4)ify(k,1)>x(j,1)continue;endifx(m,1)<y(k,2)+15|y(k,3)==0ify(k,3)<12x(m,3)=max(x(m,1),y(k,1)); %进入电梯时刻go(1:3,g1(k),g(k),k)=[m;x(m,2);x(m,3)];g1(k)=g1(k)+1;i=i+1;flag=1;y(k,3)=y(k,3)+1;iflouceng(k,x(m,2))==0louceng(k,x(m,2))=1;y(k,2)=x(m,3); %重新计时endendify(k,3)==12&sum(louceng(k,:))>0go(4,1,g(k),k)=y(k,2)+15;g1(k)=1;g(k)=g(k)+1;nex=next(louceng(k,:));y(k,1)=y(k,2)+nex+15; %下一次电梯返回底层时刻y(k,2)=y(k,1);louceng(k,:)=0;y(k,3)=0;endelsego(4,1,g(k),k)=y(k,2)+15;g1(k)=1;g(k)=g(k)+1;nex=next(louceng(k,:));y(k,1)=y(k,2)+nex+15;y(k,2)=y(k,1);louceng(k,:)=0;y(k,3)=0;endifflagflag=0;

break;endendendendn=d;whilex(n,3)==0n=n-1;endwr=d-sum(x(1:n,1)==x(1:n,3))wt=sum(x(1:n,3)-x(1:n,1))wait二wt/wrwaitmax二max(x(1:n,3)-x(1:n,1))附件三：问题(2)、(3)及问题(4)前一问的MATLAB程序代码loaddatafork=1:4num=1;forl=1:g(k)-1ceng=zeros(1,12);n=1;whilen<=12&go(2,n,l,k广=0ceng(go(2,n,l,k))=1;n=n+1;endq=next0(ceng);ceng42(num,1:12,k)=ceng;num=num+1;for