广东省云浮市千官中学2023年高三数学文期末试卷含解析

广东省云浮市千官中学2023年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲，乙，丙；丁，戊五人排队,若某两人之间至多有一人，则称这两人有“心灵感应”，则甲与乙有“心灵感应”的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.在△ABC中，∠A＝，AB＝2，且△ABC的面积为，则边AC的长为A、1B、C、2D、1参考答案：A3.已知α，β是两个不同的平面，是一条直线，且满足，现有：①；②；③。以其中任意两个为条件，另一个为结论，可以得出三个命题，其中真命题的个数为

（

）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：C略4.已知函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为

A．

B．

C．（1，2）

D．（1，4）参考答案：A5.如图，在四面体A-BCD中，截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)的球心0，且与BC、DC分别交于E、F，如果截面MF将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC表面积分别为，则必有（)A.S1与S1的大小不确定

B.C.

D.参考答案：D6.若复数为纯虚数，则复数位于

（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D略7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()参考答案：D略8.已知函数f（x）=sin（2x+），其中为实数，若f（x）≤对x∈R恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：9.已知点在第三象限，则角的终边在（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：B略10.（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由复数的四则运算，将分子分母同乘1+i化为的形式.【详解】，选B．【点睛】本题考查复数代数形式的运算，属于基本题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f(x)＝log2x，则“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的

条件参考答案：充要略12.已知函数其中．那么的零点是_____；若的值域是，则的取值范围是_____．参考答案：和，当时，由得，.当时，由，得，所以函数零点为和.当时，，所以，当，，所以此时.若的值域是，则有，，即，即的取值范围是.13.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是

参考答案：1614.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，则实数a的取值范围为．参考答案：（0，1）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，只需要x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有另1个交点，求出函数在（0，1）处切线的斜率，即可得出结论．【解答】解：由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），∵函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4个零点，∴只需要x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有另1个交点x≤0，f′（x）=ex，f′（0）=1，∴a＜1，综上所述，0＜a＜1，故答案为（0，1）．15.已知，且，，则的值为

.参考答案：试题分析：∵，，，，∴，，∴

.考点：两个角的和的余弦公式，三角函数的角的变换.

16.已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，，

则的值为

.参考答案：17.的展开式中的系数为

．参考答案：4，所以展开式中的系数为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.参考答案：本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．解析：（Ⅰ）的分布列为：0123456

（Ⅱ）数学期望为．（Ⅲ）所求的概率为．19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值．

参考答案：（1）证明：∵∴，又∵，∴又∵，、平面∴平面，又平面∴平面平面（2）取中点，中点，连接，∵∴四边形为平行四边形∴由（1）知，平面∴平面，又、平面∴，又∵，∴∴、、两两垂直∴以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

设，∴、、、，∴、、设为平面的法向量

由，得令，则，，可得平面的一个法向量∵，∴

又知平面，平面

∴，又

∴平面即是平面的一个法向量，∴

由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为

20.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB﹣cosB=1，a=2．（1）求角B的大小；（2）若b2=ac，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知得：sin（B﹣）=，结合范围B﹣∈（﹣，），利用正弦函数的性质可求B的值．（2）由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣ac，结合b2=ac，可求a=c=2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵sinB﹣cosB=1，可得：sin（B﹣）=，∵B∈（0，π），可得：B﹣∈（﹣，），∴B﹣=，可得：B=．（2）∵B=，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣ac，又∵b2=ac，∴a2+c2﹣ac=ac，可得：a=c=2，∴S△ABC===．21.已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2yt﹣（x0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线定义、椭圆性质、韦达定理、弦长公式、直线斜率的合理运用．22.(本小题满分12分)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点的直线与椭圆C相交于不同的两点，满足?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：知识点：椭圆直线与椭圆位置关系H5H8(1)；(2)存在，方程为解析：(1)设椭圆C的方程为，由题意得解得a2＝4，b2＝3.