广东省东莞市香市中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

广东省东莞市香市中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知a，b∈R，下列命题正确的是(

)A．若a＞b，则|a|＞|b| B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2 D．若a＞|b|，则a2＞b2参考答案：D【考点】四种命题．【专题】不等式．【分析】对于错误的情况，只需举出反例，而对于C，D需应用同向正的不等式两边平方后不等号方向不变这一结论．【解答】解：A．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|；B．错误，比如3＞﹣4，便得不到；C．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D．正确，a＞|b|，则a＞0，根据不等式的性质即可得到a2＞b2．故选D．【点评】考查若a＞b，对a，b求绝对值或求倒数其不等号方向不能确定，而只有对于同向正的或非负的不等式两边同时平方后不等号方向不变．3.等于（

）A.6

B.5

C.4

D.3参考答案：D4.已知的定义域为R，的导函数的图象如所示，则

（

）A．在处取得极小值

B．在处取得极大值

C．是上的增函数

D．是上的减函数，上的增函数参考答案：C略5.已知直线l1：3x+4y+1=0与直线l2：4x﹣3y+2=0，则直线l1与直线l2的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．重合 D．无法确定参考答案：B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，判断两条直线的位置关系．【解答】解：直线l1：3x+4y+1=0的斜率为：﹣，直线l2：4x﹣3y+2=0的斜率为：，显然有=﹣1，直线l1与直线l2的位置关系是垂直．故选：B．【点评】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力．6.（5分）设函数y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），且f′（x）＜f（x），则下列成立的是（）A．e﹣2f（2）＜ef（﹣1）＜f（0）B．ef（﹣1）＜f（0）＜e﹣2f（2）C．ef（﹣1）＜e﹣2f（2）＜f（0）D．e﹣2f（2）＜f（0）＜ef（﹣1）参考答案：D因为f′（x）＜f（x），所以得f′（x）﹣f（x）＜0．构造函数，则，因为f′（x）﹣f（x）＜0，ex＞0，所以F'（x）＜0，即函数在定义域上单调递减，所以，即e﹣2f（2）＜f（0）＜ef（﹣1）．故选D．7.已知直线y=kx+2k+1与直线y=–x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是(

)A.–6<k<2

B.–<k<0

C.–<k<

D.<k<+∞参考答案：C8.若直线的参数方程为，则直线的斜率为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.命题“”的否定（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C10.=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）?（1，﹣1）=1；故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设点M的柱坐标为（，，），则其直角坐标是．参考答案：【考点】QB：柱坐标刻画点的位置．【分析】设点M的直角坐标为（x，y，z），根据变换公式为，得x=，y=sin，z=解出其坐标值即可．【解答】解：由题意：∵M点的柱面坐标为M（，，），设点M的直角坐标为（x，y，z），∴x=，y=sin，z=解得x=﹣1，y=﹣1，z=．∴M点的直角坐标为：M．故答案为．12.已知实数

。参考答案：13.过点A(2，0)的直线把圆x2+y2≤1（区域）分成两部分（弓形），它们所包含的最大圆的直径之比是1∶2，则此直线的斜率是

。参考答案：±14.已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是

参考答案：15.已知，为第四象限角，则

．参考答案：略16.要得到函数的图象，只需将函数的图象向____平移_____个单位.参考答案：左

.【分析】函数改写成，函数改写成，对比两个函数之间自变量发生的变化。【详解】函数等价于，函数等价于，所以函数的图象向左平移个单位。【点睛】函数的平移或伸缩变换都是针对自变量而言的，所以本题要先的系数2提出来，再用“左加右减”的平移原则进行求解。17.

用更相减损术求38与23的最大公约数为

参考答案：1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．参考答案：【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．19.已知函数．（1）求函数的单调区间与最值；（2）若方程在区间内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．（其中e为自然对数的底数）参考答案：（1）单调增区间是；单调减区间是，，无最小值；（2）【分析】（1）求出后讨论其符号可得函数的单调区间和最值.（2）原方程等价于在区间内有两个不相等的实根，也就是函数与的图象在区间内有两个不同交点，结合（1）中函数的单调性可得实数的取值范围.【详解】（1）∵，，

∴，∴令，即，解得：.令，即，解得：，∴函数的单调增区间是；单调减区间是，∴当时，，无最小值.（2）∵方程在区间内有两个不相等的实根，∴方程在区间内有两个不相等的实根，∴函数与的图象在区间内有两个不同交点，又由（1）知函数在上单调递增；在上单调递减，∴当时，，，又，∴，

∴，∴，∴实数的取值范围为.【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．（2）含参数的闭区间上函数的零点的个数，可用参变分离把含参数的函数零点问题转为不含参数的函数的图像问题，后者可用导数来刻画．20.已知函数.（1）当时，求函数f(x)的极值；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）求导数，解方程求出函数定义域内的所有根，判断所求根的左右导函数的符号，从而可得结果；（2）当时，恒成立，等价于时恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求得的最大值，从而可得结果.【详解】（1）当时，,令，得.（－，－1）－1（－1，ln2）ln2（ln2，+）+0－0+↗极大值↘极小值↗

所以，极大值=；极大值（2）当时，恒成立，,等价于当时，，即，因为，所以，令=，，=－,（－2，－1）－1（－1，0）+0－↗极大值↘

则，因此，即.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

21.（12分）假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用有如下的统计资料

若由资料知对呈线性相关关系，试求：（1）线性回归方程（2）估计使用年限为年时，维修费用大约是多少？参考公式：参考数据：4.4+11.4+22+32.5+42=112.3参考答案：（1），那么，回归直线方程为（2）当时，即使用年限为年时，维修费用大约是万元。22.（本小题14分）已知函数.（1）当时，求在处切线的斜率；（2）当时，讨论的单调性；（3）设.当时，若对于任意，存在使成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）

则在处切线的斜率

………4分

（2）函数的定义域为

①当时，

令解得，

；函数的单调递增区间为，单调递