空间向量和立体几何练习题及答案

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD，平面ABCD,点M在线段PB上，PD〃平面MAC,PA=PD=遍，AB=4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【分析】(1)设ACABD=O,则。为BD的中点，连接0M,利用线面平行的性质证明OM〃PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；(2)取AD中点G,可得PGLAD,再由面面垂直的性质可得PG,平面ABCD,则PGLAD,连接0G,则PGLOG,再证明OG^AD.以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小；(3)求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)证明：如图，设ACABD=O,TABCD为正方形，・・・0为BD的中点，连接0M,：PD〃平面MAC,PDu平面PBD,平面PBDA平面AMC=OM,，PD〃OM,则，即M为PB的中点；(2)解：取AD中点G,VPA=PD,PG±AD,•・•平面PAD，平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,平面ABCD,则PGLAD,连接OG,则PG^OG,由G是AD的中点，。是AC的中点，可得OG〃DC,则OG^AD.以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，),C(2,由PA=PD=，AB=4,得D(2,0,0),A(-2,0,0),),C(2,4,0),B(-2,4,0),M(-1,2,亚)，2，・TOC\o"1-5"\h\z设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z二，得取平面PAD的一个法向量为.cos<>==.・•・二面角B-PD-A的大小为60°；(3)解：，平面BDP的一个法向量为・•・直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos<>1=11=11=【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题.2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA,底面ABC,NBAO90。.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2.(I)求证：MN〃平面BDE；(H)求二面角C-EM-N的正弦值；(田)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【分析】(I)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF〃平面BDE,NF〃平面BDE.得到平面MFN〃平面BDE,则MN〃平面BDE；(II)由PA,底面ABC,ZBAC=90°.可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值，进一步求得正弦值;(III)设AH=t,则H(0,0,t),求出的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长.【解答】(I)证明：取AB中点F,连接MF、NF,为AD中点，，MF〃BD,：BDu平面BDE,MF。平面BDE,，MF〃平面BDE.为BC中点，，NF〃AC,又D、E分别为AP、PC的中点，ADE#AC,贝I]NF〃DE.：DEu平面BDE,NF。平面BDE,，NF〃平面BDE.又MFANF=F.，平面MFN〃平面BDE,则MN〃平面BDE；(II)解：:PA，底面ABC,ZBAC=90°.・••以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为X、y、z轴建立空间直角坐标系.pa=AC=4,AB=2,AA(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),则，，设平面MEN的一个法向量为4工)，由，得，取z=2,得由图可得平面CME的一个法向量为TOC\o"1-5"\h\zcos<>=.•・二面角C-EM-N的余弦值为，则正弦值为；(III)解：设AH=t,贝I]H(0,0,t),,・•直线NH与直线BE所成角的余弦值为，|cos<>1=11=11=.解得：匕或t=.••当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为或•【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题.3.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120。得到的，G是的中点.(I)设P是上的一点，且APLBE,求NCBP的大小;(口)当AB=3,AD=2时，求二面角E-AG-C的大小.【分析】(I)由已知利用线面垂直的判定可得BE,平面ABP,得到BELBP,结合NEBC=120°求得NCBP=30°；(H)法一、取的中点H,连接EH,GH,CH,可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M,连接EM,CM,EC,得至UEMLAG,CM±AG,说明NEMC为所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E-AG-C的大小.法二、以B为坐标原点，分别以BE,BP,BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.求出A,E,G,C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小.【解答】解：(I)VAP±BE,AB±BE,且AB,APu平面ABP,ABAAP=A,・•・BE，平面ABP,又BPu平面ABP,.\BE±BP,又NEBC=120°,因此NCBP=30°；(H)解法一、取的中点H,连接EH,GH,CH,/ZEBC=120°,，四边形BECH为菱形，.\AE=GE=AC=GC=取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EMLAG,CM±AG,•・ZEMC为所求二面角的平面角.又AM=1,，EM=CM二在ABEC中，由于NEBC=120°,由余弦定理得：EC2=22+22-2X2X2Xcosl20°=12,因此4EMC为等边三角形，故所求的角为60。.解法二、以B为坐标原点，分别以BE,BP,BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.TOC\o"1-5"\h\z由题意得：A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,近，3),C(-1,,0),故，，^设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z『2,得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取Z2-2,得cos<>=.•・二面角E-AG-C的大小为60°.【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题.4.如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,ZAFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.（I）证明平面ABEF，平面EFDC；【分析】（I）证明AF，平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面八8£1=，平面EFDC；（口）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面8£1平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E-BC-A的余弦值.【解答】（I）证明：・・・ABEF为正方形，・・・AF，EF.VZAFD=90°,AAF±DF,VDFAEF=F,•・AF，平面EFDC,VAFc平面ABEF,，平面ABEF，平面EFDC；（口）解：由AF±DF,AF±EF,可得NDFE为二面角D-AF-E的平面角；由ABEF为正方形，AF，平面EFDC,BE±EF,・・8£，平面EFDC即有CE±BE,可得NCEF为二面角C-BE-F的平面角.可得NDFE=NCEF=60°.：AB〃EF,八8。平面EFDC,EFu平面EFDC,・小8〃平面EFDC,「平面EFDCn平面ABCD=CD,ABu平面ABCD,，AB〃CD,，CD〃EF,・•・四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a,则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(2，0,a),A(2a,2a,0),2，=(0,2a,0),=(,-2a,a),=(-2a,0,0)TOC\o"1-5"\h\z设平面BEC的法向量为=区，、，zj,则，则，取=(,0,-1).设平面ABC的法向量为=(x2,y2,z2),则，则，取=(0,,4).设二面角E-BC-A的大小为0,则COS0二———则二面角E-BC-A的余弦值为-【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.5.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H,将^DEF沿EF折到△D'EF的位置，OD'二

（I）证明：D'H，平面ABCD；（口）求二面角B-D7X-C的正弦值.DD【分析】（I）由底面ABCD为菱形，可得AD二CD,结合AE二CF可得EF〃AC,再由ABCD是菱形，得ACLBD,进一步得到EF^BD,由EF^DH,可得EF，6H,然后求解直角三角形得OH,再由线面垂直的判定得AH,平面ABCD；（H）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD，与平面ADt的一个法向坐标，得到量，设二面角二面角B-D7X-C的平面角为0,求出|COS0则二面角B-D'A-C的正弦值可求.【解答】（I）证明：•・•ABCD是菱形,.\AD=DC,XAE=CF=，，，贝I]EF〃AC,又由ABCD是菱形，得ACLBD,则EF^BD,.\EF±DH,则EFLD'H,VAC=6,AA0=3,又AB=5,AO±OB,，0B=4,・・OH==1,则DH=D'H=3,・.|OD,|2二|OH|2+|D,H|2,则D'H^OH,又OHAEF=H,，口用,平面ABCD；（口）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，VAB=5,AC=6,AB(5,0,0),C(1,3,0),6(0,0,3),A(1,-3,0),TOC\o"1-5"\h\zAB=(4,3,0),AD^=(-1,3,3)，，设平面ABD，的一个法向量为，由，得，取x=3,得y=-4,z=5.*•••同理可求得平面ADt的一个法向量，设二面角二面角B-D/A-C的平面角为0,则ICOS0I=.•・二面角B-D'A-C的正弦值为sine二【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题.6.在三棱柱ABC-AR1cl中，CA=CB,侧面ABB1Al是边长为2的正方形，点E,F分别在线段AAjAXBX上，且AE=,AJ=,CE±EF.(I)证明：平面ABB1A1，平面ABC；(口)若CALCB,求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值.c^—【分析】(l)取AB的中点D,连结CD,DF,DE.计算DE,EF,DF,利用勾股定理的逆定理得出DELEF,由三线合一得CD,AB,故而CD,平面ABB1Al,从而平面ABB1Al，平面ABC；(ID以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AQ与平面CEF所成角的正弦值等于|cos<>|.【解答】证明：(I)取AB的中点D,连结CD,DF,DE.VAC=BC,D是AB的中点,.\CD±AB.TOC\o"1-5"\h\z•・•侧面ABB1Al是边长为2的正方形，AE=,..\A1E=,EF==，DE==,DF==,.\EF2+DE2=DF2,.\DE±EF,又CELEF,CEADE=E,CEu平面CDE,DEu平面CDE,，EF，平面CDE,又CDu平面CDE,.\CD±EF,又CD^AB,ABu平面ABB1Al,EFu平面ABB1Al,AB,EF为相交直线，，CD，平面ABB'又CDuABC,，平面ABB1Al，平面ABC.•・•平面ABB1Al，平面ABC,，三棱柱ABC-AR1cl是直三棱柱，...CG，平面ABC.VCA±CB,AB=2,.*.AC=BC=.以C为原点，以CA,CB,CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A(6,0,0),C(0,0,0),q(0,0,2),E(,0,),F(2).TOC\o"1-5"\h\z=(-,0,2),=(,0,),=(,,2).设平面CEF的法向量为=(x,y,z),则，,令z=4,得=(-,-9,4).=10,||=6,||=.sin<>==.・•・直线AQ与平面CEF所成角的正弦值为.【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题.7.如图，在四棱锥中P-ABCD,PAL平面ABCD,AD#BC,AD±CD,<AD=CD=2,BC=4,PA=2.(1)求证：AB±PC；(2)在线段PD上，是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小为45°,如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.【分析】(1)利用直角梯形的性质求出AB,AC的长，根据勾股定理的逆定理得出ABLAC,由PA,平面ABCD得出ABLPA,故AB,平面PAC，于是AB±PC；(2)假设存在点M,做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M到平面ABCD的距离从而确定M的位置，利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h,根据勾股定理计算BM,则即为所求角的正弦值.【解答】解：(1)证明：•・•四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=2,BC=4,・・.AC=4,AB===4,•・.△ABC是等腰直角三角形，即ABLAC,平面ABCD,ABu平面ABCD,.\PA±AB,，AB，平面PAC,又PCu平面PAC,.\AB±PC.(2)假设存在符合条件的点M,过点M作MNLAD于N,则MN〃PA,，MN，平面ABCD,，MNLAC.过点M作MGLAC于G,连接NG,则AC,平面MNG,AAC±NG,即NMGN是二面角M-AC-D的平面角.若NMGN=45°,则NG=MN,又AN=NG=MN,amn=i,即M是线段PD的中点.，存在点M使得二面角M-AC-D的大小为45°.在三棱锥M-ABC中，VMAB=15AB*MN=IVI.AdC■二i设点B到平面MAC的距离是h,则Vrmac二D_IVIACTOC\o"1-5"\h\zVMG=MN=，AS===2，△MAC・•・=，解得h=2.在^ABN中，AB=4,AN=,ZBAN=135°,BN=BM==3,・•・BM与平面MAC所成角的正弦值为=【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质，空间角与空间距离的计算，属于中档题.8.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-AR1cl中,侧面A1ACCJ底面ABC,NA1A060°.(1)求侧棱AAX与平面AB1c所成角的正弦值的大小；(2)已知点D满足二+，在直线AA1上是否存在点P,使DP〃平面AB1C?若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.

【分析】(1)推导出AQ，平面ABC,BO±AC,以0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz,利用向量法能求出侧棱A&与平面AB1c所成角的正弦值.(2)假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P(0,y,z),则.利用向量法能求出存在感使DP〃平面ABQ其坐标为(0,0,),即恰好为名点.【解答】解：(1)•・•侧面A1ACCJ底面ABC,作A1cUAC于点0,•••AQ，平面ABC.又NABONA1A060。，且各棱长都相等，.\A0=l,0A『0B=，B0±AC....(2分)故以0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz,贝ijA(0,-1,0),B(,0,0),\(0,0,),C(0,1,0),=(0,1,),=(),=(0,2,0)....(4分)TOC\o"1-5"\h\z设平面AB1c的法向量为，则,取x=l,得=(1,0,1).设侧棱AAX与平面AB1c所成角的为0,则sinB=|cos<,>1=1|=,，侧棱AAX与平面AB1c所成角的正弦值为.…(6分)(2)•・•二，而，，=(-2=(-2,0,0),又()，，点D(-0,0).假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0,y,z）,・•・而二（福，V,£）••「DP〃平面AB1a=（-1,0,1）为平面AB1c的法向量，•二由二入，得,，丫二。....（10分）又DPC平面ABQ故存在点P,使DP〃平面AB1a其坐标为（0,0,）,即恰好为名点.…（12分）【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.9.在三棱柱ABC-AR1cl中，侧面ABB1Al为矩形，AB=2,AA/2,D是AAX的中点，BD与ABX交于点0,且CCU平面ABB1Al.（I）证明：平面AB1c，平面BCD；（口）若OC=OA,4AB1c的重心为G,求直线GD与平面ABC所成角的正弦值.【分析】（I）通过证明ABJBD,ABJCO,推出八8「平面BCD,然后证明平面八81^平面BCD.（H）以0为坐标原点，分别以OD,OBj0C所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz.求出平面ABC的法向量，设直线GD与平面ABC所成角a,利用空间向量的数量积求解直线GD与平面ABC所成角的正弦值即可.【解答】（本小题满分12分）解：（I）TABB1Al为矩形，AB=2,卜”二?近，D是中点，.・・NBAD=90°,从而，，：，ZABD=ZABXB,...（2分）,从而ABX，BD…（4分）〈CO,平面ABB1Al,ABxu平面ABB1Al,AAB^CO,VBDnC0=0,...AB1，平面BCD,•・，AB1u平面AB1a，平面AB1c，平面BCD…（6分）（H）如图，以0为坐标原点，分别以OD,OBj0C所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.在矩形ABB1Al中，由于AD〃BBj所以^AOD和相似，从而又，・•・，，，?••?,VG为^AB1c的重心，，,...（8分）设平面ABC的法向量为，

由;r型二。可得Ln-AC=O令y=l,则z=-l,，所以....令y=l,则z=-l,，所以....（10分）设直线GD与平面ABC所成角a,所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为...（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.10.在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，将^ABD沿BD折起，使得点A折起至A,设二面角A-BD-C的大小为0.(1)当0=90。时，求At的长；(2)当cos0二时，求BC与平面ABD所成角的正弦值.

【分析】(1)过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE,利用勾股定理及余弦定理计算AE,CE,由A,ELCE得出At；(2)利用余弦定理可得正，从而得出AF,平面ABCD,以F为原点建立坐标系，求出和平面ABD的法向量，则BC与平面ABD所成角的正弦值为|COS<>I.【解答】解：(1)在图1中，过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE.TOC\o"1-5"\h\zVAB=4,AD=2,.\BD==10.,BE==8,cosZCBE==.在ABCE中，由余弦定理得CE==2.Ve=90°,・・・A'E，平面ABCD,.•.A'ElCE.|At|==2DE==2.VtanZFDE=,.\EF=1,DF==.当即cosNA'EF=时，.・・.A'E2=AF2+EF2,ZA'FE=90°XBD±AE,BD±EF,，BD,平面A'EF,.e.BD±A'F.••A'F,平面ABCD.以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA为z轴建立空间直角坐标系如图所示：:(0,0,),D(-,0,0),B(3,2,0),C(3,0,0).，=(0,2,0),=(4,2,0),=(，0,).设平面ABD的法向量为=(x,y,z),则，令z=l得，令z=l得=(1).Acos<n,CB>=，BC与平面A'BD所成角的正弦值为【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题.11.如图，由直三棱柱ABC-AR1cl和四棱锥D-BB1cle构成的几何体中，ZBAC=90°,AB=1,BC=BB『BAC=90°,AB=1,BC=BB『2,QD=CD=，平面CJD，平面ACC1Al.(I)求证：AC±DC1；(口)若M为口7的中点，求证：AM〃平面DBBj<m)在线段BC上是否存在点P,使直线DP与平面BBQ所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.【分析】(I)证明AC±CC1,得至UAC,平面CQD,即可证明ACXDq.(口)易得NBAO90。，建立空间直角坐标系A-xyz,依据已知条件可得A(0,0,0),,,B(0,0,1),,(2,0,1),,利用向量求得AM与平面DBB1所成角为0,即八乂〃平面DBB1.(in)利用向量求解【解答】解：(I)证明：在直三棱柱ABC-AR1cl中，CCJ平面ABC,故AC±cc1,由平面cep，平面ACC1Al,且平面ccpn平面ACC1A『CCj所以AC,平面CQD,又(2尸(=平面CJD,所以ACLDQ.(口)证明：在直三棱柱ABC-AR1cl中，AAJ平面ABC,所以AAJAB,AAJAC,又NBAC=90。，所以，如图建立空间直角坐标系A-xyz,依据已知条件可得A(0,0,0),C9,闻际，。)，，B(0,0,1),TOC\o"1-5"\h\zBx(2,0,1),,所以，，设平面DBBX的法向量为，由即令y=L则，x=0,于是，因为M为DQ中点，所以，所以，由，可得，所以AM与平面口881所成角为0,即AM〃平面DBBr(HI)解：由(口)可知平面BBQ的法向量为设,入£[0,1],则，若直线DP与平面DBBX成角为，则|cos<n?i_In-DP|_二仃九I二行\，|・|武广|cos<n?解得故不存在这样的点.【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角.属于中档题12.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED，平面ABCD,AB=EA=ED,EF/7BD（I）证明：AE±CD（ID在棱ED上是否存在点M,使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.【分析】（I）利用面面垂直的性质得出CD,平面AED,故而AELCD；（II）取AD的中点0,连接E0,以0为原点建立坐标系，设,求出平面BDEF的法向量，令|cos（>|=，根据方程的解得出结论.【解答】（I）证明：•・•四边形ABCD是正方形，・・・CD，AD,又平面八£口，平面ABCD,平面AEDn平面ABCD=AD,CDu平面ABCD,

.\CD±平面AED,AEc平面AED,.\AE±CD.(Il)W：取AD的中点0,过。作0N〃AB交BC于N,连接E0,VEA=ED,.\OE±AD,又平面AED，平面ABCD,平面AEDn平面ABCD=AD,OEu平面AED,・・・0E，平面ABCD,如图所示：0,0),E(0,0,1),M(-入，0,11),=(2,2,0),(1,-1,如图所示：0,0),E(0,0,1),M(-入，0,11),=(2,2,0),(1,-1,-1),贝I]A(1,0,0),B(1,2,0),D(-1,-入)=(-入-1,0,1-入)，=(1,0,设平面BDEF的法向量为=(x,y,z)则，即，令x=l得cos<>=，解得人=0,直线AM，解得人=0,直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为，当M与点E重合时【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题.13.如图，在四棱锥P-ABCD中，NABC=NACD=90°,NBAC=NCAD=60°,PA±平面ABCD,PA=2,AB=L

(1)设点E为PD的中点，求证：CE〃平面PAB；(2)线段PD上是否存在一点N,使得直线CN与平面PAC所成的角0的正弦值为逗？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由.5【分析】(1)取AD中点M,利用三角形的中位线证明EM〃平面PAB,利用同位角相等证明MC〃AB,得到平面EMC〃平面PAB,证得EC〃平面PAB；(2)建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角0的正弦值为，可得结论.【解答】(1)证明：取AD中点M,连EM,CM,则EM〃PA.•「EMC平面PAB,PAu平面PAB,，EM〃平面PAB.在Rt^ACD中，ZCAD=60°,AC=AM=2,ZACM=60°.而NBAC=60°,，MC〃AB.•「MCC平面PAB,ABu平面PAB,，MC〃平面PAB.•「EMAMOM,，平面EMC〃平面PAB.ECc平面EMC,，EC〃平面PAB.(2)解：过A作AFLAD,交BC于F,建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0),B(，-,0),C(,1,0),D(0,4,0),P(0,0,2),设平面PAC的法向量为=(x,y,z),则设平面PAC的法向量为=(x,y,z),则，取二(，-3,0),设二人(0W入W1),则=(0,4入,-2人)，=（-入-1,2-2入），cos<n?・・・N为PD的中点，使得直线CN与平面PAC所成的角0的正弦值为【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.14.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边