浙江概率论与数理统计第四章习题电子版本

1(1)5.在下列句子中随机地取一单词,以X表示取到的单词所包含的字母(zìmǔ)个数,写出X的分布律并求E(X).“THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT”解共有8个单词(dāncí),随机取到每个单词(dāncí)的概率都是1/8,

X

2349

pk

1/85/81/81/8设在某一规定的时间间隔里,某电气设备用于最大负荷(fùhè)的时间X(以分计)是一个随机变量,其概率密度为求E(X).解X的分布律为X的取值为2,3,4,9,第一页，共21页。6.7.设随机变量(suíjībiànliànɡ)X的分布律为

X

-202

pk

0.40.30.3求E(X),E(X2),E(3X2+5).解或E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4设随机变量(suíjībiànliànɡ)X的概率密度为求(1)Y=2X;(2)Y=e-2X的数学(shùxué)期望.解第二页，共21页。8.设(X,Y)的分布(fēnbù)律为X

123Y

00.10.00.3

10.10.10.1

-10.20.10.0P{X=i}0.40.20.41.0P{Y=j}0.30.40.3(1)求E(X),E(Y);(2)设Z=Y/X,求E(Z);(3)设Z=(X-Y)2,求E(Z).解(1)先求出关于X,Y的边缘(biānyuán)分布律如右故E(X)=10.4+20.2+30.4=2E(Y)=-10.3+00.4+10.3=0(2)先求出Z=Y/X的分布(fēnbù)律如下Zpk-10.2-1/20.1-1/30.000.41/30.11/20.110.1故(3)先求出Z=(X-Y)2的分布律如下Zpk220.2320.1420.0120.1220.0320.3020.1120.1220.1整理得Zpk00.110.240.390.4故E(Z)=00.1+10.2+40.3+90.4=5第三页，共21页。9.设(X,Y)的概率密度为求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).xoy11y=x解如图,阴影(yīnyǐng)部份是f(x,y)不为零的区域也可以(kěyǐ)先求边缘概率密度第四页，共21页。11.一工厂(gōngchǎng)生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,概率密度为工厂(gōngchǎng)规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售(chūshòu)一台设备净赢利的数学期望.解设Y(元)表示厂方出售一台设备的净赢利,则Y只能取两个值:Y=100和Y=100-300=-200.而{Y=100}时,设备的寿命必须在一年以上,即{X1}故P{Y=100}=P{X1}而P{Y=-200}=1-P{Y=100}或=P{X<1}=1-P{X1}厂方出售一台设备净赢利的数学期望E(Y)=100e-1/4+(-200)(1-e-1/4)=3000.7788-200=33.64(元)第五页，共21页。14.设随机变量(suíjībiànliànɡ)X1,X2的概率密度分别为(1)求E(X1+X2),E(2X1-3X22);(2)又设X1,X2相互(xiānghù)独立,求E(X1X2).解法一:利用(lìyòng)已知概率密度计算积分(1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)E(2X1-3X22)=2E(X1)-3E(X22)(2)E(X1X2)第六页，共21页。法二:利用(lìyòng)已知结果直接求解由所给概率密度可知,X2服从(fúcóng)参数=1/4的指数分布,故E(X2)==1/4,D(X2)=2=1/16.从而(cóngér)E(X22)=D(X2)+[E(X2)]2=1/8.X1服从参数=1/2的指数分布,E(X1)=1/2.按照数学期望的性质,E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=3/4,E(2X1-3X22)=2E(X1)-3E(X22)=5/8,由于X1,X2相互独立,E(X1X2)=E(X1)E(X2)=1/8.15.将n只球(1~n号)随机地放进n只盒子(1~n号)中去,一只盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对.记X为总的配对数,求E(X).解设随机变量Xi=0,第i号盒子中装的不是第i号球1,第i号盒子恰好装第i号球(i=1,2,…,n)而X=X1+X2+…+Xn,第i号球放进n个盒子中有n种放法,故其恰好放进第i号盒子中的概率P{Xi=1}=1/n,由(0-1)分布的数学期望E(Xi)=P{Xi=1}=1/n,(i=1,2,…,n)故E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=nE(Xi)=1.第七页，共21页。16.若有n把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能打开门上的锁,用它们去试开门上的锁.设取到每只钥匙是等可能的.若每把钥匙试开一次后除去(chúqù).试用下面两种方法求试开次数X的数学期望.(1)写出X的分布(fēnbù)律;(2)不写出X的分布(fēnbù)律.解(1)设事件Ai表示“第i次试开能打开门”,则Ai表示“第i次试开不能打开门”.由于(yóuyú)第i次试开前,巳试了(i–1)把钥匙都未打开门,而在剩下的[n-(i-1)]把钥匙中只有一把能打开门,所以前(i-1)次试开未打开门的条件下,第i次试开能打开门的概率为P(Ai|A1A2…Ai-1)=1/(n-i+1),而第i次试开不能打开门的概率为P(Ai|A1A2…Ai-1)={X=k}表示第1,2,…,k-1次试开不能打开门,第k次试开能打开门,故P{X=k}=P(A1A2…Ak-1Ak)=P(A1)P(A2|A1)…P(Ak-1|A1A2…Ak-2)P(Ak|A1A2…Ak-1)(k=1,2,…,n)第八页，共21页。(2)设随机变量(suíjībiànliànɡ)Xi=0,第i次未抽到开门(kāimén)钥匙1,第i次抽到开门(kāimén)钥匙(i=1,2,…,n)基本事件是从n把钥匙中抽取一把,故基本事件总数为n.而取到每把钥匙是等可能的.由于只有一把钥匙能打开门上的锁,每把钥匙试开一次后除去,所以第i次抽到开门钥匙,只能从[n-(i-1)]把中抽取.故P{Xi=1}=(n-i+1)/n,由(0-1)分布的数学期望E(Xi)=P{Xi=1}=(n-i+1)/n,(i=1,2,…,n)而X=X1+X2+…+Xn,18.设随机变量X服从瑞利分布,其概率密度为其中>0是常数,求E(X),D(X).解法一:利用令t=x/,则第九页，共21页。法二:利用函数(hánshù)的定义及性质令t=x2/22,则第十页，共21页。19.设随机变量(suíjībiànliànɡ)X服从分布,其概率密度为其中(qízhōng)>0,>0是常数,求E(X),D(X).解令t=x/,则x=t,dx=dt,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=(+1)2-22=2讨论:(1)当=1时,得到(dédào)参数为的指数分布,E(X)=,D(X)=2.(2)当=n/2,=2时,得到自由度为n的2分布,E(X)=n,D(X)=2n.第十一页，共21页。19.设随机变量(suíjībiànliànɡ)X服从几何分布,其分布律为P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中(qízhōng)0<p<1是常数,求E(X),D(X).解先复习(fùxí)无穷级数的有关知识当|x|<1时,两边对x求导两边乘x两边再对x求导令1-p=q,则p=1-q,分布律为P{X=k}=pqk-1,k=1,2,…第十二页，共21页。21.设长方形的高(以m计)X~U(0,2),己知长方形的周长(zhōuchánɡ)(以m计)为20,求长方形面积A的数学期望和方差.解法一:X的概率密度为A=x(10-x)=10x-x2第十三页，共21页。法二:利用已知均匀分布的数学期望和方差(fānɡchà)的结果和性质求解D(A)=D(10X-X2)=D(10X)+D(X2)-2Cov(10X,X2)=100D(X)+E(X4)-[E(X2)]2-2[E(10X3)-E(10X)E(X2)]=100D(X)+E(X4)-[E(X2)]2-20E(X3)+20E(X)E(X2)第十四页，共21页。22.(1)设随机变量X1,X2,X3,X4相互(xiānghù)独立,且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,

i=1,2,3,4.设求E(Y),D(Y).解第十五页，共21页。E(Z2)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=720-640=80.D(Z2)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=900+625=1525.故Z2~N(80,1525).E(X+Y)=E(X)+E(Y)=720+640=1360,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=900+625=1525.故X+Y~N(1360,1525).P{X>Y}=P{X-Y>0}=P{Z2>0}=1-P{Z20}P{X+Y>1400}=1-P{X+Y1400}设随机变量(suíjībiànliànɡ)X,Y相互独立,且X~N(720,302),Y~N(640,252),求Z1=2X+Y,Z2=X-Y的分布(fēnbù),并求概率P{X>Y},P{X+Y>1400}.解E(X)=720,D(X)=302,E(Y)=640,D(Y)=252.E(Z1)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2720+640=2080D(Z1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4900+625=4225=652故Z1~N(2080,652)22.(2)第十六页，共21页。28.设二维随机变量(suíjībiànliànɡ)(X,Y)的概率密度为试验(shìyàn)证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.解先求边缘(biānyuán)概率密度,xy1-1同理显然,在单位圆内,即时,因此X和Y不是相互独立的.同理Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相关的.第十七页，共21页。29.设随机变量(suíjībiànliànɡ)X,Y的分布律为X

-101Y

01/801/8

11/81/81/8

-11/81/81/8P{X=i}3/82/83/81.0P{Y=j}3/82/83/8验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互(xiānghù)独立的.解先求出关于X,Y的边缘(biānyuán)分布律如右显然,对每一组(i,j)(i,j=-1,0,1),都有P{X=i,Y=j}

P{X=i}P{Y=j},因此X和Y不是相互独立的.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相关的.第十八页，共21页。30.设A和B是试验(shìyàn)E的两个事件,且P(A)>0,P(B)>0并定义随机变量X,Y如右X=1,若A发生(fāshēng)0,若A不发生(fāshēng)Y=1,若B发生0,若B不发生证明,若XY=0,则X和Y必定相互独立.证P{X=1}=P(A),故P{X=0}=1-P(A),P{Y=1}=P(B),故P{Y=0}=1-P(B),由此得X,Y的边缘分布并设其联合分布如右X

01Y

0a11a12

1a21a22P{X=i}1-P(A)P(A)1.0P{Y=j}

1-P(B)P(B)由表中得①a11+a21=1-P(A)

②a12+a22=P(A)③a11+a12=1-P(B)

④a21+a22=P(B)

显然E(X)=P(A),E(Y)=P(B),而E(XY)=00a11+10a12+01a21+11a22=a22

由于XY=0,故Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)