数理统计茆诗松第二章自测题

.《数理统计》第二章自测题时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每题2分，共10分） 得分设总体X服从参数为人的泊松分布，％,X2,…，xn是取自乂的随机样本，其均值和方差分别为X和S2，如果M=aX+（2-3a）S2是人的无偏估计，则a=。Ie-（x-0）,x>0,,Xn为来自该总体的一D®)=4D(0)。如果1 22.设总体X的密度函数为f（x，0）,Xn为来自该总体的一D®)=4D(0)。如果1 2个简单随机样本，则参数0的矩估计量为。已知0,0为未知参数0的两个无偏估计，且0与0不相关12 1 20=a0+疳也是0的无偏估计，且是0,0的所有同类型线性组合中方差最小的，则3 1 2 1 2a=，b=°设X是在一次随机试验中事件A发生的次数，进行7n次试验得一组样本％,X2,…，Xn，其中事件A发生了k次，则事件A发生的概率为p，「的最大似然估计为；p（1-p）的矩估计为。设总体'「Ze）!*均为未知参数，""■ '：：：为来自总体X的一个样本,当用*"任如*-u• 作为I」的估计时，最有效的是 二、选择题：（每题3分，共24分） 得分设总体X服从［a,b］（a<b）上的均匀分布，a、b均为未知参数，「…" 为来自总体X的一个样本，则"的最大似然估计量为（）TOC\o"1-5"\h\zr「if.i,.1.艾I"I- . r「11i「|节 .（A） ' :u' （B） ,（C）"3- （D）—设总体X的概率分布为X0123PP0220(1-0)021-20其中0（0<0<1/2）是未知参数，从总体X中抽取容量为8的一组样本，其样本值为3,1，3,0，3，1，2，3，则参数

TOC\o"1-5"\h\z°的矩估计值为( )。(A)1/3；(B)1/4；(C)1/2；(D)1/8。设目和目是总体参数。的两个估计量，说目比目更有效，是指( )。1 2 1 2(A)E(0)=E(°)=0,且°<0； (B)E(0)<E(°)；1 2 1 2 1 2(C)D(0)<D(0) ； (D)E(0)=E(0)=0,且D(0)<D(0)。1 2 12 12设X「Xy…,X是来自总体X的样本，D(X)=O2,•上和S2=£(X二如2，分别为样i=1本均值和样本方差，则()。(A)S是:】的无偏估计 (B)S是:】的最大似然估计(C)S是:，的相合估计 (D)S与"'•相互独立TOC\o"1-5"\h\zv liE =q设'同时满足.• 则下列结论正确的是匕是e的有效的计量 心丫占是。的无偏估计量(A) (B)(C)mMl'.匚 (D)A和C同时正确6.E(X)=u，D(X)=O2，则可以作为。2的无偏估设X1，X2,…,6.E(X)=u，D(X)=O2，则可以作为。2的无偏估的是( )。(A)当(A)当u为已知时，£(Xi~R)2

ni=1(B)当u为已知时，£(Xi~R)2

n一1

i=1(C)当u(C)当u为未知时，£(Xf)2；ni=1△(D)当u为未知时，£(X-HA。n—1i=17.设0是参数0的无偏估计量，且D(0)>0，则02|( )是02的无偏估计量。(A)一定； (B)不一定；(C)一定不； (D)可能。设用普通的最小二乘方法去估计线性模型，E[X]=M",要使得参数估计为最好线性无偏估计需要满足()(A)M列满秩，Var(X)=・,V(V对称的正定阵) (B)Var(X)=*(I单位矩阵)(C)M列满秩，Var(X)=『；(I单位矩阵) (D)0)和(C)都对三、判断题：(每题1.5分，共15分) 得分( )设总体X~N(,2)， , 2均未知，X],X2,…，Xn是来自乂的样本，贝S2=£(圣一又)2是2的UMVUEoni=1( )未知参数的矩估计量和最大似然估计量都是无偏估计量。( )对C-R正则族，一致最小方差无偏估计一定是有效估计。( )用最大似然估计法求出的估计量是不唯一的。( )用矩估计法和最大似然估计法求出的估计量一定不同。

((）未知参数的无偏估计为相合估计。((）费希尔信息量总是存在的。( )对C-R正则族，无偏估计的方差下界可以任意小。( )参数的一致最小方差无偏估计必然为完备充分统计量的函数。( )在贝叶斯统计中，对给定的总体，参数是随机的；参数估计由先验信息决定。四、计算题(共51分)6丫c k(。—x),0<X<0,(8分)设总体X的概率密度函数为f(x,0)=<03' ' 其中参数0>0未、0, 其它，知，设％,X2,…，Xn是来自总体X的样本，求0的矩估计量0,计算0的方差D(0)，并< 讨论0的无偏性。 得分[2e—2(x-0),x>0,(12分)设总体X的概率密度为f(x;0)=〈八 八其中参数>0为未知，从[0,x<0,总体中抽取样本X],X2,…，Xn，其样本观察值为X],X2,…，xn，求参数的最大似然估计0；讨论0是否具有无偏性；若0不是的无偏估计量，修正它，并由此指出的一个无偏量估计0。讨论0是否具有相合性； 得分(6分)一个人重复的向同一目标射击，设他每次击中目标的概率为P，射击直至命中目标为止。此人进行了n(n1)轮这样的射击，各轮射击的次数分别为％,%,...,%，试求命中率P的矩估计值和最大似然估计值。 得分(11)设％,X2,…，Xn是来自Gag的样本,已知.其密度函数为;p(x;a,入)= xa-ie-况， x>0.r(a)i试求参数的UMVUE，并判断是否为有效估计。(8)设总体为均匀分布U(；L。-】)，」的先验分布为均匀分布U(10,16)，现有三个观测值:11.7,12.1,12.(1)求I)的后验分布(2)求贝叶斯估计以及方差。rex=梆(6)对线性模型｛ H,其中M为列满秩阵，I为单位矩阵，使用普通最小二乘方[Var(X)=b2I法计算参数P的估计以及方差，并判断最小二乘估计是否是无偏的？《数理统计》第二章自测题参考答案一、填空题：1；2.X-1；3.a=0.2,b=0.8；4.'，'；，•*「「，一，'ni：：l<"-i"；5.了^2【提示】1.因为E(X)=D(X)=人，故E(X)=E(S2)=X，又eQ)=X，即E(aX+(2-3a)S2)=a人+(2-3a)X=人，解得a=1。2TOC\o"1-5"\h\z3.由题意a，b应使得E(0)=0且D(9)达到最小。已知E(0)=E(0)=0，3 3 1 2Cov(0,0)=0，E(0)=aE(0)+bE(0)=(a+b)0=0na+b=1，b=1-a，1 2 3 1 2D(0)=a2D(0)+b2D(0)+2cov(0,0)=(4a2+(1-a)2)D(0)=(5a2-2a+1)D(0)3 1 2 12 1 2令f(a)=5a2-2a+1，求f(a)的最小值点为a=0.2,则b=0.8。八1寸“k4.因为X服从两点分布，则E(X)=p，矩估计值p=-£X〔=—,代入p(1-p)可得其矩估i=1计。设(X],x2，...,xn)是X的一组样本观察值，则p的似然函数为L(P)=Hpx(1-p)f=pi=j(1-p)"i=・=Pk(1-P)n-k，i=1两边取自然对数为InL(p)=kInp+(n-k)ln(1-p)，令'p)=0，得似然估计值为dpp=-，由最大似然估计的不变性，可得；•「的最大似然估计为3二「「n5.土"』一"一.小……—一二、选择题：1.(B)；2.(B)；3.(D)；4.(C)；5.(C)6.(A)；7.(C)；8.(C)【提示】a2=minX.ft^—[maxX.]易得a和b的最大似然估计分别为 「-•■••...，再由最大似然估计的不变性可得。E(X)=3—40，故宿=^―^。代入样本均值的观察值无二2，得普=1。4 424.S2是：的无偏估计，但S不是如勺无偏估计；(n-1)/nS2是；的最大似然估计，所以、'.••f是''的最大似然估计；只有当总体是正态分布时，才有S与了相互独立。6.76.7.=1£E(X一口)2=-•n。2=b2。EG)=DG)+EG)=DG)+02〉02。三、判断题：1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；【提示】对C-R正则族，有效估计一定是一致最小方差无偏估计，但反过来，由于UMVUE的方差不一定能达到C-R下界，所以UMVUE不一定是有效估计。设％,X2,…，xn为来自总体U(0,0+1)的一个样本，其中参数0未知，似然函数为睥)睥)=c耕e)=);:i=1 L0<X:X::x<0+1,12其他,n要使L要使L(0)=1，须满足0<minx,1<i<n.maxx<0+1，所以，，maxx-1<0<minx，1<i<n. 1<i<n‘ 1<i<n‘即满足maxX即满足maxX-1<g(X:X:1<i<n1 1 2:X)<minX的统计量g(X:X:n i 1 21<z<n:X)都是0的最大似然估计量。10.贝叶斯统计中，参数确实是随机的，但是参数值也是由先验信息和•样本信息同时决定的。四、计算题1.【解】因为E(X)=』 X dx=—:所以万=X，0的矩估计量为0=2X。0 03 2 24D(X)D(e)=4D(X)=———nrA6X3(9—x), 3。2 02因为E(X2)=j°。*_2卜布，所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=-,02D(0) ，又E(0)=2E(X)=。，所以是无偏的。5n【解】⑴似然函数为睥)=Hf(X；0)=rZ"国气>。'VO…七品

i i=1，=1 〔 0' 其他，当X1>,x2>,…，xn>时，L()>0,取对数，得 …lnL(0)=nln2—2乎x+2n0,i=1因为dInL(0)因为dInL(0)d02n>0,以L()单调增加，因此越大，L()越大，但<x1,x2,…,%，故取的最大似然估计值为0=mg/%,'xn)，于是的最大似然估计量为q一0=min(X1,X2, ,X)。(2)设总体X的分布函数为F(x)=Xf(2)设总体X的分布函数为F(x)=Xf(t)dt=1—e—2(x—0),.0,x>0,

x<0'—3Fmin(z)=1—(1—以(z))n=1—e—2n(z—0)'0'z>0'z<0'fjz)=Fmin(z)=2ne—2n(z—0)'0'z>0'z<0'TOC\o"1-5"\h\z因为E(0)=+3zf(z)dz=+32nze-2n(z-0)dx=0+=。0，所以0不是的无偏估计量。0 2n—3 0(3)取0*=0—［，贝gE(0*)=E(0—=)=E(0)—==0，于是即0是的无偏估计2n 2n 2n量。EH=J次2neaz=J“+2t+l)2nedl=— +0r⑷由于' 所以小1 — 1寸31)(。)=—)+—+/-34-,-=—7-*0.由习题2.1节题目7的结论可知:'是n的相合估计。【解】设X为直到命中目标为止所进行的射击次数，则X服从参数为p的几何分布，即P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,X为总体，p未知，x1,1 1Ex,…，x是来自总体的一组样本值，由E(X)=，无=_Yx，2n pnii=11n 由矩估计法有p=-=疔为P的矩估计值。ii=1…、小 An似然函数L(p)=0(1-p)x「\p=(1-p)i=1'pn，i=1lnL(p)=(^x-n)ln(1-p)+nInp，ii=1dp——-M p1-p，―n解得p=^-。ii=14.【解】(1)求解参数的UMVUEoGag已知,其密度函数为:p(x;a,人)=扁xa*-X, x>0.易判断它为指数分布族，并且r(a)当俄"」"为充分统计量，又指数分布族的充分统计量为完备统计量，所以是充分完备统计量。_a R仁]=^=- T 1又.'上•所以*， .’从而•是参数•的无偏估计，又是完备充分统计量的函数，所以为UMVUEo(2)判断它是否为有效估计。先计算w的方差：伪/4]=上财(X)=上只=*Ina)na2 na2人2 naA21下一步计算参数」“的C-R下界。由伽玛分布的