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第六章计数原理6.2.1排列教学设计一、教学目标1.通过具体实例,理解排列的概念;2.能用列举法、树状图法列出简单的排列;3.能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.二、教学重难点1、教学重点理解排列的定义.2、教学难点运用排列解决问题.三、教学过程(一)新课导入教师:上节课学习了分类加法计数原理与分步乘法计数原理,但是在解决问题时,我们发现有时会因做了一些重复性工作而显得烦琐.那么能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢?先来分析两个实例.(二)探索新知探究一:运用排列解决问题思考1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?此时,要完成的一件事是“选出2名同学参加活动,1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动”,可以分两个步骤:第1步,确定参加上午活动的同学,从3人中任选1人,有3种选法;第2步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选,有2种选法.根据分步乘法计数原理,不同的选法种数为.这6种不同的选法如图所示.如果把上面问题中被取出的对象叫做元素,那么问题可叙述为:从3个不同的元素中任意取出2个,并按一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?所有不同的排列是,不同的排列方法种数为.思考2:从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?显然,从4个数字中,每次取出3个,按“百位、十位、个位”的顺序排成一列,就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题:第1步,确定百位上的数字,从1,2,3,4这4个数字中任取1个,有4种方法;第2步,确定十位上的数字,当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的3个数字中去取,有3种方法;第3步,确定个位上的数字,当百位、十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下的2个数字中去取,有2种方法.根据分步乘法计数原理,从1,2,3,4这4个不同的数字中,每次取出3个数字,按“百位、十位、个位”的顺序排成一列,不同的排法种数为.因而共可得到24个不同的三位数,如图所示.由此可写出所有的三位数:123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.同样,问题2可以归结为:从4个不同的元素中任意取出3个,并按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?所有不同的排列是.不同的排列方法种数为.探究二:排列的定义思考1和思考2都是研究从一些不同元素中取出部分元素,并按照一定的顺序排成一列的方法数.一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.根据排列的定义,两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.例如,在问题1中,“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同,它们是不同的排列;“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.又如,在问题2中,123与134的元素不完全相同,它们是不同的排列;123与132虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.例1某省中学生足球赛预选赛每组有6支队,每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场,那么每组共进行多少场比赛?解:可以先从这6支队中选1支为主队,然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数原理,每组进行的比赛场数为.例2(1)一张餐桌上有5盘不同的菜,甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜,共有多少种不同的取法?(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙、丙3名同学每人从中选一种,共有多少种不同的选法?解:(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理,不同的取法种数为.(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从5种菜中选1种,也有5种选法;最后让同学丙从5种菜中选1种,同样有5种选法.按分步乘法计数原理,不同的选法种数为.(三)课堂练习1.某校安排5名同学去A,B,C,D四个爱国主义教育基地学习,每人去一个基地,每个基地至少安排一人,则甲同学被安排到A基地的排法总数为()A.24 B.36 C.60 D.240答案:C解析:当A基地只有甲同学在时,那么总的排法是种;当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时,那么总的排法是种;则甲同学被安排到A基地的排法总数为种.故选C.2.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2130是“六合数”),则其中首位为2的“六合数”共有().A.18个 B.15个 C.12个 D.9个答案:B解析:由题知后三位数字之和为4,当一个位置为4时有004,040,400,共3个;当两个位置和为4时有013,031,103,301,130,310,022,202,220,共9个;当三个位置和为4时112,121,211,共3个,所以一共有15个.故选B.3.高三年级某班组织元旦晚会,共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目,出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”(可以不相邻),则这样的出场排序有()A.24种 B.40种 C.60种 D.84种答案:B解析:五个元素的全排列数为,由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”2种排法,所以满足条件的排法有.故选B.4.若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”,现从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字,组成没有重复数字的三位数,其中“伞数”共有()个.A.60 B. C.20 D.答案:C解析:由题意得:十位数只能是3,4,5,当十位数是3时,个位和百位只能是1,2,“伞数”共有个;当十位数是4时,个位和百
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