高中数学北师大版第一章三角函数6余弦函数的图像与性质

课时提升作业余弦函数的图像与性质一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2023·陕西高考)函数f(x)=cos2x+π4的最小正周期是(A.π2 B.π π 【解题指南】直接利用正弦函数的周期公式T=2π|ω|,求出它的最小正周期即可【解析】选B.由T=2π|ω|=2π2=π,故B2.(2023·济南高一检测)函数y=sinx+20152π是A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数【解析】选B.因为y=sinx+=sinx+3π2=-sinx+π所以函数是偶函数.3.(2023·天津高一检测)y=cosx,x∈-π2,πA.[0,1] B.[-1,1]C.0,32 【解析】选A.由图像可知,当x=0时,y=cosx取最大值1,当x=-π2时,y=cosx取最小值【变式训练】函数y=2cosx+1取最小值时,自变量x的取值集合是.【解析】当cosx=-1时,2cosx+1取最小值-1,此时自变量x的取值集合为{x|x=2kπ+π,k∈Z}.答案:{x|x=2kπ+π,k∈Z}4.(2023·包头高一检测)函数y=sin2x+5π2的(A.最小正周期是2π B.图像关于y轴对称C.图像关于原点对称 D.图像关于x轴对称【解析】选B.因为y=sin2x+5π2=sin2x+π2=cos2x,所以函数是偶函数,5.(2023·银川高一检测)sinx>cosx在区间[0,2π]上x的取值范围为()A.0,π2 C.5π4,2π 【解题指南】在同一坐标系中画出正、余弦函数的图像,再求解.【解析】选D.在同一坐标系中作出y=sinx与y=cosx的图像如图所示.由图知满足条件的区间为π46.(2023·西安高一检测)函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是() π π【解析】选D.如图:由余弦函数的对称性可得,y=2cosx的图像在[0,2π]上与直线y=2围成封闭图形的面积和直线x=2π,y=2,x轴、y轴围成的矩形的面积相等,为S=4π,故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2023·深圳高一检测)设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图像向右平移π3个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于【解析】由题意可知,nT=π3(n∈N*所以n·2πω=π3(n∈N所以ω=6n(n∈N*),所以当n=1时,ω取得最小值6.答案:68.(2023·威海高一检测)函数y=lg(3-2cosx)的定义域为.【解析】由3-2cosx>0得cosx<32,由余弦函数的图像可知,π6+2kπ<x<11π6答案:x9.(2023·南昌高一检测)已知0≤θ≤π3,且cosθ=a+1,则a的取值范围为【解题指南】先求出cosθ的范围,进而求a的范围.【解析】0≤θ≤π3,所以cosθ∈1所以a+1∈12,1,所以a∈答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)10.画出函数y=-3cosx+2的简图,根据图像讨论函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性.【解析】按五个关键点列表、描点,画出图像如下x0ππ3π2πy=cosx10-101y=-3cosx+2-1252-1函数y=-3cosx+2的性质见下表函数性质y=-3cosx+2定义域R值域[-1,5]奇偶性偶函数周期性周期函数,最小正周期为2π单调性在每一个区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是增加的;在每一个区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是减少的11.是否存在实数λ,使函数f(x)=2cos2x-4λcosx-10≤x≤π2的最小值是-32?若存在,求出所有的λ和对应的x值,若不存在【解析】假设存在λ满足题意,则f(x)=2(cosx-λ)2-2λ2-1,因为0≤x≤π2,所以由f(x)的最小值为-32,(1)0≤λ≤1,-2λ2-1=-(3)λ>1,由(1)解得λ=12,此时cosx=12,x=(2)无解.(3)无解.综上所述,存在实数λ,当λ=12,x=π3时,f(x)的最小值是-一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2023·吉安高一检测)如果y=cosx是增加的且y=sinx是减少的,那么x的终边在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选=cosx在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的,在[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)上是增加的,即在第一、二象限为减少的,第三、四象限为增加的;y=sinx在-π2+2kπ,π2+2kπ(k∈Z)上为增加的,在π2+2kπ,3π综上,x的终边应落在第三象限.【变式训练】函数y=cos2x在下列哪个区间上是减少的()A.-π4,π4C.0,π2 【解析】选C.由2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),得kπ≤x≤kπ+π2(k∈Z),令k=0,可得0≤x≤π2,即在0,π2上函数2.(2023·潍坊高一检测)函数y=cos2x+3π2的(A.最小正周期为2π B.图像关于y轴对称C.图像关于原点对称 D.图像关于x轴对称【解析】选=cos2x+3π2=sin2x,所以函数y=cos2x+3π2为奇函数3.定义在R上的偶函数f(x)满足f(π+x)=f(π-x),若x∈[0,π]时解析式为f(x)=cosx,则f(x)>0的解集是()A.2kπ-32π,2kπ+B.2kπ-π2,2kπ+C.2kπ,2kπ+π(k∈Z)D.2kπ,2kπ+π2(k【解析】选B.由题意得f(x)的周期为2π,且为偶函数,因为x∈[0,π]时f(x)=cosx,所以x∈R时,f(x)=cosx,由余弦函数的图像知B正确.4.(2023·青岛高一检测)若函数y=sin(π+x),y=cos(2π-x)都是单调递减的,则x的集合是()A.xB.xC.xD.x【解析】选A.因为y=sin(π+x)=-sinx,其单调减区间为2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z),y=cos(2π-x)=cosx,其单调减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z),所以函数y=sin(π+x)与函数y=cos(2π-x)二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2023·沈阳高一检测)若函数f(x)=2cosωx+π3的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正整数ω的最大值为【解析】由T∈(1,3)知,1<2πω<3,所以2π3<ω<2π,所以正整数ω答案:66.(2023·江苏高考)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是【解题指南】关键利用条件“图像有一个横坐标为π3的交点”即得sin2π3+φ【解析】由题意得sin2π3+φ=cosπ3又0≤φ<π,得2π3+φ=5π6,得φ=答案:π三、解答题(每小题12分,共24分)(x)是定义在[-2π,2π]上的偶函数,当x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx;当x∈(π,2π]时,f(x)的图像是斜率为2π,在y轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分(1)求f(-2π),f-π3(2)求f(x)的解析式,并作出图像,写出其单调区间.【解析】(1)当x∈(π,2π]时,y=f(x)=2π又f(x)是偶函数,所以f(-2π)=f(2π)=2.又x∈[0,π]时,y=f(x)=cosx,所以f-π3=fπ3(2)y=f(x)=-图像如图所示:单调增区间为[-π,0],(π,2π],单调减区间为[-2π,-π),[0,π].8.如图,函数y=2cos(ωx+θ)x∈R,ω>0,0≤θ≤π2的图像与y轴相交于点(0,3),且该函数的最小正周期为(1)求θ和ω的值.(2)已知点Aπ2,0,点P是该函数图像上一点,点Q(x0,y0)是PA的中点,当y0=32,x0∈π2,π时,【解析】(1)将x=0,y=3代入函数y=