高中数学人教A版第四章圆和方程【市一等奖】

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2023·景德镇期末)直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2x＋4y－11＝0的位置关系是()A．相离 B．相切C．相交过圆心 D．相交不过圆心解析：圆心(1，－2)到直线4x－3y－2＝0的距离d＝eq\f(|4×1－3×－2－2|,\r(42＋－32))＝eq\f(8,5)，圆的半径r＝4.所以d＜r.又圆心(1，－2)不在直线4x－3y－2＝0上，故选D.答案：D2．(2023·扬州竹西中学月考)如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是()A．P在圆外 B．P在圆上C．P在圆内 D．P与圆的位置关系不确定解析：由题意，得eq\f(4,\r(a2＋b2))＜2，得a2＋b2＞4，即点P(a，b)在圆x2＋y2＝4外，故选A.答案：A3．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为()A．0或2 B．2\r(2) D．无解解析：因为直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，所以(0,0)到直线x＋y＋m＝0的距离为eq\r(m)(m＞0)，即eq\f(|0＋0＋m|,\r(12＋12))＝eq\r(m)，整理，得m2＝2m.解得m＝2或m＝0(舍去)，故选B.答案：B4．过点(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2 B．2eq\r(3)C．3 D．2eq\r(5)解析：当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d＝|OG|＝1，此时弦长最短，即eq\f(|AB|,2)≥eq\r(R2－d2)＝eq\r(4－1)⇒|AB|≥2eq\r(3)，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)5．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．解析：根据圆的弦的性质和直线与圆的位置关系求解．因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1相切，所以eq\r(4－22＋0－m2)＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－eq\f(3,2)，所以圆的方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).答案：(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4)6．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：由题意可得，圆心为(2，－1)，r＝2，圆心到直线的距离d＝eq\f(|2－2－3|,\r(12＋22))＝eq\f(3,5)eq\r(5)，所以弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－\f(9,5))＝eq\f(2,5)eq\r(55).答案：eq\f(2,5)eq\r(55)7．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________．解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝1，即圆心为(1,2)，半径长为1.设所求直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线与圆相交所得弦的长为2，圆的半径长为1，则圆心到该直线的距离为eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2)＝0，即圆心在直线kx－y＝0上，于是k－2＝0，即k＝2.故所求直线的方程为y＝2x.答案：y＝2x三、解答题(每小题10分，共20分)8．求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0所截得的弦长为2eq\r(7)的圆C的方程．解析：设圆心C的坐标为(a，b)，点C在直线3x－y＝0上，所以C(a,3a)，且点C到直线x－y＝0的距离为eq\f(|2a|,\r(2)).设圆C被直线x－y＝0截得的弦为AB，H为弦AB的中点，则|AH|＝eq\r(7)，又圆C与x轴相切，则半径长r＝3|a|，于是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a|,\r(2))))2＋(eq\r(7))2＝(3|a|)2，解得a＝1或a＝－1，r2＝9，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.9．已知点M(1，m)，圆C：x2＋y2＝4.(1)若过点M的圆的切线只有一条，求m的值及切线方程；(2)若过点M且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆截得的弦长为2eq\r(3)，求m的值．解析：(1)由于过点M的圆的切线只有一条，故点M在圆C上，所以1＋m2＝4，所以m＝±eq\r(3).所以切线方程为x±eq\r(3)y－4＝0.(2)由于圆C的直径为4>2eq\r(3)，故所求直线不过圆心，即不过原点．设所求直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0，因为该直线被圆截得的弦长为2eq\r(3)，所以圆心到直线的距离为1，所以eq\f(|a|,\r(2))＝1，所以a＝±eq\r(2).所以所求直线的方程为x＋y±eq\r(2)＝0，所以m＝－1±eq\r(2).10．(2023·蚌埠一中月考)若圆心在x轴上，半径为eq\r(5)的圆位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程为()A．(x－eq\r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析：设圆心(a,0)(a＜0)，由题意，得eq\r(5)＝eq\f(|a|,\r(12＋22))，得|a|＝5，即a＝－5.所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5，故选D.答案：D11．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.解析：由题意可知圆的圆心为C(1，a)，半径r＝2，则圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\f(|2a－2|,\r(a2＋1)).因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝r＝2.又|AB|＝2eq\r(r2－d2)，所以2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a－2|,\r(a2＋1))))2)＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15).答案：4±eq\r(15)12．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．解析：(1)因为切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x＋y＝a，所以圆C(－1,2)到切线的距离等于圆半径eq\r(2)，即eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2)，所以a＝－1或a＝3.所求切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时交点坐标为(0,1)，(0,3)，被圆C截得的线段长为2，符合题意，直线方程为x＝0.当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由已知得，圆心到直线的距离为1，则eq\f(|－k－2|,\r(k2＋1))＝1⇒k＝－eq\f(3,4)，直线方程为y＝－eq\f(3,4)x，综上，所求直线方程为x＝0或y＝－eq\f(3,4)x.13．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线l：3x＋4y－11＝0的距离为1的点有几个？解析：方法一：圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心O1的坐标为(3,3)，半径r＝3.设圆心O1到直线3x＋4y－11＝0的距离为d，则d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2<3.如图所示，在圆心O1同侧，与直线3x＋4y－11＝0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又r－d＝3－2＝1.∴与直线3x＋4y－11＝0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．方法二：符合题意的点是平行于直线3x＋4y－11＝0且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为3x＋4y＋m＝0，且与直线3x＋4y－11＝0的距离为d，则d＝eq\f(|m＋11|,\r(32＋42))＝1，∴m＋11＝±5，即m＝－6或m＝－16.