高中数学北师大版本册总复习总复习 获奖作品

模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线eq\f(x,3)－eq\f(y,\r(3))＝1的倾斜角的大小为()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：由eq\f(x,3)－eq\f(y,\r(3))＝1，得该直线的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故倾斜角为30°.答案：A2．已知圆C：x2＋y2－4x＝0和点P(1，eq\r(3))，则圆C在点P处的切线方程为()A．x－eq\r(3)y＋2＝0 B．x－eq\r(3)y＋4＝0C．x＋eq\r(3)y－4＝0 D．x＋eq\r(3)y－2＝0解析：圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心为C(2,0)，点P在圆上，kPC＝eq\f(\r(3)－0,1－2)＝－eq\r(3)，所以切线的斜率为－eq\f(1,kPC)＝eq\f(1,\r(3))，故在点P(1，eq\r(3))处的切线方程为y－eq\r(3)＝eq\f(1,\r(3))(x－1)，即x－eq\r(3)y＋2＝0，故选A.答案：A3．已知M，N分别是正方体AC1的棱A1B1，A1D1的中点，如图是过M，N，A和D，N，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为()解析：由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.答案：B4．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是()A．相切 B．直线过圆心C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离解析：(x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1,0)，圆心到直线的距离：d＝eq\f(|－1＋1|,\r(2))＝0.∴直线x－y＋1＝0过圆心．答案：B5．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是()A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α解析：如图，l可以垂直m，且l平行α.答案：C6．若M(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0解析：设圆心为C，其坐标为(1,0)，则AB⊥CM，kCM＝－1，∴kAB＝1，∴直线AB的方程为y－(－1)＝1·(x－2)，即x－y－3＝0，故选A.答案：A7．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为()\f(\r(3),3) B．eq\f(2\r(3),3)\f(4\r(3),3) D．eq\f(5\r(3),3)解析：由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，如图所示，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S－ABD和C－ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DBC＝∠DAC＝45°，所以在△BDC中，BD＝4－x，所以x＝4－x，解得x＝2，所以AD＝BD＝2，所以△ABD为正三角形．所以V＝eq\f(1,3)S△ABD×4＝eq\f(4\r(3),3).答案：C8．过点P(－3,4)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋25＝0C．3x－4y＋4＝0 D．3x－4y＝0解析：先求出以PO(O为原点)为直径的圆C的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋(y－2)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2，即x2＋y2＋3x－4y＝0，再将两圆方程相减得3x－4y＋4＝0，因为这条直线经过两圆的交点即切点A，B，所以3x－4y＋4＝0就是直线AB的方程，故选C.答案：C9．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是()A．①②③ B．②③④C．①③ D．②④解析：①∵l⊥平面α，且α∥β，∴l⊥β.又m平面β，∴l⊥m.∴①正确．②若l⊥α，α⊥β，mβ，则l和m有可能平行、异面，故②不正确．这样排除A，B，D.答案：C10．若直线y＝kx－1与曲线y＝－eq\r(1－x－22)有公共点，则k的取值范围是()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．[0,1]解析：由线y＝－eq\r(1－x－22)可化为(x－2)2＋y2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x轴下方的半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k≤1.答案：D11．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1＝B))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC⊥平面ABC1,AC⊂平面ABC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面ABC1⊥平面ABC,平面ABC1∩平面ABC＝AB,C1H⊥平面ABC))⇒H在AB上．答案：B12．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：由题意可知，要使三棱锥D－ABC面积最大，由于S△ABC一定，从而只需点D到平面ABC的距离最大便可，如图所示，显然当面ABC⊥面ADC时VD－ABC最大．取AC的中点E，连结DE、EB，由面面垂直的性质可知DE⊥平面ABC，即∠EBD为直线BD与平面ABC所成的线面角．由于△DEB为等腰直角三角形，所以∠DBE＝45°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上)13．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋11＝0平行，则实数m的值是________．解析：由条件可知，eq\f(3,6)＝eq\f(4,m)≠eq\f(－3,11)，解得m＝8.答案：814．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为23－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(23,3).答案：eq\f(23,3)15．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则eq\f(y＋2,x＋1)的取值范围为________．解析：令k＝eq\f(y－－2,x－－1)，则k可看作圆x2＋y2＝1上的一个动点到点(－1，－2)的连线的斜率．连线的方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，由直线与圆有公共点的条件得，圆心到直线的距离d＝eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))≤1，解得k≥eq\f(3,4).所以eq\f(y＋2,x＋1)的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))16．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P，使|PM|＝4，则称该直线为“点M相关直线”，下列直线中是“点M相关直线”的是________．(只填序号)①y＝x＋1②y＝2③4x－3y＝0④y＝2x＋1解析：点M(5,0)到直线y＝x＋1的距离为eq\f(|5＋1－0|,\r(2))＝3eq\r(2)＞4不合题意；点M(5,0)到直线y＝2的距离为2＜4合题意；点M(5,0)到直线4x－3y＝0的距离为4合题意；点M(5,0)到直线y＝2x＋1的距离为eq\f(|10＋1－0|,\r(5))＞4不合题意．答案：②③三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(1)求经过点P(1,2)，且与两坐标轴构成等腰三角形的直线l的方程；(2)求满足(1)中条件的直线l与y轴围成的三角形的外接圆的方程．解析：(1)设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1且|a|＝|b|，①又∵P(1,2)在直线l上，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，②由①②解得a＝3，b＝3或a＝－1，b＝1，∴直线l的方程为x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.(2)∵(1)中所求得的两条直线互相垂直，∴y轴被两条直线截得的线段即是所求圆的直径且所求圆经过P点．设圆心为(0，b)，又x＋y－3＝0和x－y＋1＝0在y轴上的截距分别为3和1，则1＋(b－2)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－1,2)))2＝r2，解得b＝2，r＝1.故所求圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝1.18．(本小题满分12分)如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD.(1)求证：BC⊥平面PAB；(2)过CD作一平面交平面PAB于EF，求证：CD∥EF.证明：(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BC,四边形ABCD为矩形⇒BC⊥AB,PA∩AB＝A))⇒BC⊥平面PAB.(2)∵CD∥AB，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，∴CD∥平面PAB.又平面CDEF∩平面PAB＝EF，∴CD∥EF.19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝eq\r(6)，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解析：(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝eq\r(3).又A1C＝eq\r(6)，则A1C2＝OC2＋OAeq\o\al(2,1)，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝eq\r(3)，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC·OA1＝3.20．(本小题满分12分)已知矩形ABCD的两条对角线交于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，AB边所在直线方程为3x－4y－4＝0，点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))在AD所在直线上．(1)求AD所在直线的方程；(2)求矩形ABCD的外接圆C1的方程．解析：(1)∵AB所在直线方程为3x－4y－4＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－eq\f(4,3).又点N在AD所在直线上，∴直线AD的方程为y－eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3)(x＋1)，即4x＋3y＋3＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y－4＝0,4x＋3y＋3＝0))，解得点A的坐标为(0，－1)．又两条对角线交于点M，∴M为矩形ABCD的外接圆的圆心，而|MA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2＋－1－02)＝eq\f(\r(5),2)，∴外接圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq\f(5,4).21．(本小题满分13分)如图，在三棱锥S－ABC中，已知点D、E、F分别为棱AC、SA、SC的中点．(1)求证：EF∥平面ABC；(2)若SA＝SC，BA＝BC，求证：平面SBD⊥平面ABC.证明：(1)∵EF是△SAC的中位线，∴EF∥AC.又∵EF⃘平面ABC，AC平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2