高中数学人教A版第二章数列等比数列的前n项和（省一等奖）

教学设计表学科数学授课年级高二学校登封市实验高级中学授课教师杨建筑章节名称等差数列的前n项和计划学时一学时学习内容分析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中“等差数列的前n项和”。本节课主要研究如何用“倒序相加法”求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用。等差数列的前n项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题。在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题，等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前n项和提供了一种重要方法。课文以高斯故事引课，目的是增强学生的好奇心，激发学生的学习欲望和激情。以问题为纽带，通过三个问题组织学生讨论，由特殊（自然数的前100项和）到一般（自然数的前n项和），再到一类（等差数列的前n项和），循序渐进。通过类比高斯配对求和方法，启发学生独立思考，讨论交流，对问题进行层层递进的探究，使学生从不同的思维角度掌握等差数列的前n项和公式，从中深刻领会推导过程所蕴涵的逻辑推理方法和数学思维方法，培养学生思维的深刻性、尖锐性和批判性。等差数列的前n项和公式，不论是它本身的获取过程，还是它的证明方法的获取过程，以及它的证明过程，都是发现数学结论和数学方法的思维过程，同时在这些过程中还蕴涵了许多重要的数学思想方法，如“特殊与一般”“归纳与类比”“抽象与概括”等。由此可见，等差数列的前n项和公式是培养学生的创新意识和创新能力的一个极好素材。课文最后通过精选例题，分层次练习，使学生既巩固了知识，又形成了技能。学习者分析知识基础：高二年级学生已掌握了函数、数列等有关基础知识，特别是对等差数列的概念、通项公式及基本性质有相当的认识。在小学对高斯的算法也有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了必要的基础，同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想。认知水平与能力：高二学生已具备了解决简单数学问题的能力，特别是具有一定的自主探究能力和从特殊到一般的能力，能在教师的引导下独立地解决问题。但对于倒序相加求和的思想还是初步接触，需要着重启发引导。任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的掌握教材上的内容，大多能够利用合作探究的方法解决问题。但处理抽象问题的能力还有待进一步提高，特别是对解决问题的新方法，应多用启发式教学方法。教学目标课程标准：本节课学习的主要内容是探索并掌握等差数列的前n项和以及该求和公式的应用。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。等差数列作为特殊数列，在现实生活中有着广泛的应用。等差数列的前n项和是数列的重要内容。授课时，使用函数的背景和研究方法去认识、研究数列及其等差数列前n项和，让学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等差数列和等差数列前n项和模型的过程，探索并掌握其中的一些基本数量关系，感受到等差数列及其求和公式的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。知识与技能：（1）理解等差数列前n项和的定义以及等差数列前n项和公式推导的过程。（2）用方程的思想认识等差数列前n项和的公式；公式中五个量已知其中三个量求另外两个量。会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题。过程与方法：（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认识规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生的类比思维能力；（3）通过公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。情感、态度与价值观：（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义的熏陶；（2）通过公式的运用，使学生养成实事求是，扎实严谨的科学态度；（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学家略史，激发学生探索的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。教学重点及解决措施教学重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列前n项和与二次函数之间的关系。解决措施：根据教材的内容和编制特点，为了更有效地突出重点，本节课应采用以教师为主导，学生为主体，师生互动的“互助探究”的教学方法和层层设问“问题驱动”的教学模式。即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“等差数列前n项和”为基本探究内容，让学生的思维由问题开始，到类比高斯配对发现“倒序相加法”，得到等差数列的前n项和公式。突破重点的手段是抓住学生情感的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励使他们知难而进。另外抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提示和指导。教学难点及解决措施教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。解决措施：首先展示高斯算法，使学生明白高斯算法解决了什么问题，如何解决问题，以及解决问题的方法妙处在何处，还有那些不足等等。高斯算法解决的问题是以首项为1公差为1的等差数列{n}的前100项的和；高斯算法的核心思想是利用了等差数列的性质，即与首尾等距的两项和都相等且等于首尾和，再配对解决。但高斯算法与等差数列求和还有一定的距离。主要体现在高斯算法计算的个数是有限的（100个）且个数为偶数，等差数列计算的个数是抽象的数（n个）且个数不一定为偶数，如何解决矛盾，如何巧妙配对，又如何在求和时避免对项数奇偶性的分类讨论呢？这就基本上抽象出“倒序配对相加”的思想方法，从而把所有矛盾化解。教学设计思路建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构。在教学过程中，根据教学内容，从高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法，通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考，学会学习。依据的理论建构主义学习理论（以皮亚杰为代表）认为教学应在教师指导下以学习者为中心，强调学习者的主体作用，和教师的主导作用。教师的作用从传统的传递知识的权威转变为学生学习的辅导者，成为学生学习的高级伙伴或合作者。学生学习和掌握知识途径不是被动的教师的传授和机械的记忆，教师应该是学生学习的帮助者和促进者，教师创设情境，引导学生积极主动地参与教学过程。学生以积累的知识经验为基础，利用必要的学习资源，借助教师和同学的帮助，不断学习新知识，通过意义建构将知识内化为新的认知结构。信息技术应用分析知识点学习水平媒体内容与形式使用方式使用效果介绍高斯简单课件多媒体播放多媒体优例题展示一般幻灯片课件多媒体优小结，练习展示一般幻灯片多媒体优教学过程（可续页）教学环节教学内容所用时间教师活动学生活动设计意图一、简介数学家高斯数学史上有一颗光芒四射的巨星，他与阿基米德、牛顿、欧拉齐名，被称为人类有史以来"最伟大的四位数学家之一"，他就是18世纪德国著名的数学家----高斯。高斯11岁时发现了二项式定理，17岁时发明了二次互反律，18岁时发明了正十七边形的尺规作图法，解决了两千多年来悬而未决的难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，22岁时以一篇“一元n次方程至少有一根”的论文获得博士学位，他一生曾用四种不同的方法证明他的这一伟大发现。2分钟教师：200多年前，10岁的高斯迅速计算出自然数1到100的和，你想知道他是怎样计算呢？让学生简单了解数学家高斯的地位和贡献，激发学生的求知欲望和探究热情。二、探究高斯妙算展示高斯算法1+2+3+…+100＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝10150＝50505分钟问题1：高斯算法解决了数列一个什么样的问题？问题2：很棒！高斯的算法非常巧妙！为什么要把1和100,2和99等这样的数配对相加呢？问题3：非常棒！高斯算法共配了多少对？学生：和式是首项为1，公差为1的等差数列{n}的前100项的和。学生：因为他们的和相等，且等于首尾两项的和。学生：共50对。师生共同探讨高斯算法，为新课的讲解作铺垫。三、探究等差数列前n项和公式设是等差数列，求它的前n项和，即求解析：+得：（一）。倒序相加法15分钟教师：受高斯算法的启发，对于一般的等差数列如何求其前n项和？教师：很好！但n为奇数时这种方法还行吗？教师：非常好！思考能不能在此基础上进一步完善，避免对项数的讨论教师：好！根据刚才的讨论，自己试求一下。学生：仿高斯算法可得：…。学生：为避免奇偶的讨论可再给出一个等差数列的和式，并且倒写，两个相加即可求得和又可避免分类讨论。通过一次一次的发现问题、提出问题、解决问题，让学生自己思考，自己解决，自我完善，这样有利于他们和智力的发展。让学生基本抽象出“倒序相加法”的思想。末项首项末项首项项数项数教师：上面的推导方法叫倒序相加法，如何从形式上记住这个公式？学生：学生：第一种形式的记法有三个好处，即便于深刻理解，便于牢固记忆，最重要是便于灵活应用；第二种记法更形象化。四、引导学生得到等差数列前n项和另一种形式（二）5分钟教师：等差数列的通项公式能给出的另一种形式吗？教师：的两个表达式有什么不同点又如何使用，并加以比较。学生：学生：公式一是已知首项，末项及项数求和；公式二是已知首项，公差及项数求和。共同点是都必须知道首项及项数。不同点是前者已知的是末项，后者知道的是公差。公式（一）反映了等差数列的任意第k项与倒数第k+1项的和等于首项与末项的和这个内在性质。公式（二）反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”。体会知识间的联系，得到等差数列前n项和的另一种形式，比较公式间的联系。从实际问题中提炼数学模型在解决问题的过程中运用公式教科书例1。5分钟教师：请同学们认真阅读例1，从中提取关键信息。引导学生构造等差数列模型让学生独立作出解答，然后让学生将答案写在黑板上学生：这是一个数列问题。学生：这是一个等差数列的求和问题，且求，选用的是公式（二）。简解：（万元）答：从2023--2023年该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。体验从实际情景中发现等差数列模型，并运用有关知识解决问题的过程。六、灵活应用公式建立方程或方程组解题教材中例2已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？5分钟教师：例2中有几个已知条件，目标是什么？又如何解决呢？教师：如何求呢？教师：请同学们小组讨论并派代表在黑板上解答。学生：有3个已知条件，是等差数列，且，，求要求需要求出。学生：列方程组求。学生：设首项，公差，则：。建立等差数列前n项和与方程之间的联系，根据已知量，通过解方程或方程组，得出其余未知量，让学生体会方程的思想在解决数列问题中的应用，让学生认识等差数列前n项和公式是一个关于的方程。七、回顾反思从特殊到一般的研究方法。用倒序相加求等差数列的前n项和公式。等差数列前n项和公式及意义。运用方程的思想分析和解决问题。5分钟教师：回顾和总结本节学习内容以及掌握的思想方法。学生自己总结小组归纳。学习的思想方法有：从特殊到一般倒序相加函数与方程的思想组织学生共同反思本节课的教学内容及思想方法，使学生对等差数列前n项和有一个完整、清晰、深刻的认识。八、作业设计作业：教材46页习题2.3A组1---4题。备选练习如下：根据下列条件，求出相应的等差数列的前n项和（2）（3）。2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2?这些数的和是多少？3.等差数列的前n项和为，已知（1）求通项公式；若，求n。课后思考题：等差数列的前n项和为，求证是等差数列，并求其公差。试用求：的值。3分钟学生：3.（1）由解得由得。分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念。思考题为了提高学生思维的能力！同时也是对本节课的升华！课堂教学流程图公式（二）推导公式（二）推导课题导入公式探究课题导入公式探究例题解析公式运用作业设计回顾反思例题解析公式运用作业设计回顾反思教学反思（1）本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路。为了突破这一难点，在教学中采用了一问题驱动的教法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再将此法运用到一般问题的解决。再教学过程中通过教师层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，使学生“倒序相加”思路的获得水到渠成。（2）新课程要求教师由主导者变成引导者，看重“以学定教”的教育