高中数学北师大版2第一章推理与证明第1章3

第一章§3一、选择题1．用反证法证明命题“若a＞b，则eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)”时，假设的内容是()\r(3,a)＝eq\r(3,b) \r(3,a)＜eq\r(3,b)\r(3,a)＝eq\r(3,b)，且eq\r(3,a)＜eq\r(3,b) \r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)解析：“eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)”的否定是“eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)”，即“eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)＜eq\r(3,b)”．答案：D2．如果两个实数之和为正数，那么这两个数()A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数C．至少有一个是正数 D．两个都是负数解析：若都不是正数，则两数之和一定不会是正数．答案：C3．设a、b、c都是正数，则三个数a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2＋2＋2＝6，当且仅当a＝b＝c＝1时取“＝”．故选C.答案：C4．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，其中真命题个数为()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：易知①③正确．②用反证法：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)与条件矛盾，故a＋b≥0，从而②为真命题，④类似于②用反证法．答案：D二、填空题5．若a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，ab＞0，则用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时，应假设为___________．答案：a、b、c不全是正数6．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为_________答案：a≠1或b≠1三、解答题7．设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).证明：假设|f(1)|＜eq\f(1,2)，|f(2)|＜eq\f(1,2)，|f(3)|＜eq\f(1,2)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜1＋a＋b＜\f(1,2)，,－\f(1,2)＜4＋2a＋b＜\f(1,2)，,－\f(1,2)＜9＋3a＋b＜\f(1,2).))于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＋b＜－\f(1,2)，①,－\f(9,2)＜2a＋b＜－\f(7,2)，②,－\f(19,2)＜3a＋b＜－\f(17,2).③))由①、②得－4＜a＜－2，④由②、③得－6＜a＜－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0.证明：假设a≤0，即a＜0或a＝0.(1)若a＝0，则abc＝0，这与abc＞0矛盾；(2)若a＜0，则由abc＞0，知bc＜0，又因为bc＞－(ac＋ab)，所以－(ac＋ab)＜0，∴ac＋ab＞0，即a(c＋b)＞0，而a＜0，所以b＋c＜0，所以a＋b＋c＜0，这与a＋b＋c＞0相矛盾，综上所述，假设不成立，从而a＞0.9．如图，已知平面α∩β＝a，bβ，a∩b＝A，且cα，c∥a，求证：b、c为异面直线．证明：假设b、c不是异面直线，即b、c为共面直线，则b、c为相交直线或平行直线．(1)若b∩c＝P，已知bβ，cα，又α∩β＝a，则P∈(bβ)，且P∈(cα)，从而，交点P一定在平面α、β的交线上(公理二)，