高中数学北师大版第二章平面向量 微课

第二章同步测试题班别：姓名：成绩：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．已知向量a＝(－1,3)，b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k的值是()A．k＝3 B．k＝－3C．k＝eq\f(1,3) D．k＝－eq\f(1,3)2．若平面向量b与向量a＝(－1,2)的夹角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，则b等于()A．(－3,6) B．(3，－6)C．(6，－3) D．(－6,3)3．正方形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(BC,\s\up6(→))＝b、eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，则a－b＋c表示的向量等于()A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\o(DB,\s\up6(→))C．eq\o(DA,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))4．已知|a|＝2eq\r(2)，|b|＝3，a、b的夹角为eq\f(π,4)，如图所示，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝5a＋2b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a－3b，且D为BC中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))的长度为()A．eq\f(15,2) B．eq\f(\r(15),2)C．7 D．85．已知三点A(1,1)、B(－1,0)、C(3，－1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－2 B．6C．2 D．36．下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))7．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，则()A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线8．设向量a＝(sin15°，cos15°)，b＝(cos15°，sin15°)，则向量a＋b与a－b的夹角为()A．90° B．60°C．45° D．30°9．已知a＝(1,2)、b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A．(eq\f(7,9)，eq\f(7,3)) B．(－eq\f(7,3)，－eq\f(7,9))C．(eq\f(7,3)，eq\f(7,9)) D．(－eq\f(7,9)，－eq\f(7,3))10．给定两个向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)且(a＋xb)⊥(a－b)，则x等于()A．23 B．eq\f(23,2)C．eq\f(23,3) D．eq\f(23,4)11．若|a|＝|b|＝2，|a＋b|＝eq\r(7)，则a与b的夹角θ的余弦值为()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．以上都不对12．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,2)、eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,1)，在x轴上的一点P，使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))为最小值，则P点的坐标是()A．(3,0) B．(－3,0)C．(2,0) D．(4,0)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a＝(1，－eq\r(3))，则与a反向的单位向量是________．14．设O为坐标原点，已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,3)，且eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，则向量eq\o(OC,\s\up6(→))等于________．15．若等边△ABC的边长为2eq\r(3)，平面内一点M满足eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝________.16．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2023·山东曲阜师范大学附属中学高一模块测试)已知|a|＝1，|b|＝2，(2a＋3b)·(b－2(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.18．(本小题满分12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)、e2＝(0,1)，求：(1)a·b、|a＋b|；(2)a与b的夹角的余弦值．19．(本小题满分12分)已知A(－1,0)、B(0,2)、C(－3,1)，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝5，eq\o(AD,\s\up6(→))2＝10.(1)求点D的坐标；(2)用eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(AC,\s\up6(→)).20．(本小题满分12分)已知点A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ，cosθ)，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，求tanθ的值．21．(本小题满分12分)已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a、b表示c.22．(本小题满分14分)已知平面上三个向量a、b、c，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.参考答案1．C2．B3．C4．A5．A6．B7．A8．A9．D.10．C11．D12．A13．(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))14．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)，－\f(2,7)))15．－216．eq\r(10)17．(1)∵(2a＋3b)·(b－2a)＝－4a·b－4a＝－4×1×2×cosθ－4×1＋3×4＝－8cosθ＋8＝12，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)由(1)知a·b＝|a|·|b|coseq\f(2π,3)＝1×2×(－eq\f(1,2))＝－1.∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2∴|a＋b|＝eq\r(3).18．(1)因为e1＝(1,0)、e2＝(0,1)所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，b＝4e1＋e2＝(4,1)，a·b＝10，a＋b＝(7，－1)，|a＋b|＝5eq\r(2).(2)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(10,\r(13)·\r(17))＝eq\f(10\r(221),221)19．(1)设D(x，y)，，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋1，y)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝x＋1＋2y＝5， ①eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋1)2＋y2＝10. ②联立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2,y＝3))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1)).∴点D的坐标为(－2,3)或(2,1)．(2)当点D的坐标为(－2,3)时，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,1)．设eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，则(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＝m－n,1＝2m＋3m))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1,n＝1)).∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；当点D的坐标为(2,1)时，设AC＝peq\o(AB,\s\up6(→))＋qeq\o(AD,\s\up6(→))，则(－2,1)＝p(1,2)＋q(3,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＝p＋3q,1＝2p＋q))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝1,q＝－1)).∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)).所以，当点D的坐标为(－2,3)时，eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，当点D的坐标为(2,1)时，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)).20．∵A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ，cosθ)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2sinθ－1，cosθ)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2sinθ，cosθ－1)，又∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2，∴(2sinθ－1)2＋cos2θ＝(2sinθ)2＋(cosθ－1)2，化简，得2sinθ＝cosθ.若cosθ＝0，则sinθ＝±1，则上式不成立．∴cosθ≠0，即tanθ＝eq\f(1,2).21．∵∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°.设eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(OC,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→))＝x\o(OA,\s\up6(→))＋y\o(OB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)),\o(OC,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))＝x\o(OA,\s\up6(→))＋y\o(OB,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→))))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|\o(OC,\s\up6(→))|2＝x|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC＋y|\o(OB,\s\up6(→))||\o(OC,\s\up6(→))|cos∠BOC,|\o(OC,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|cos∠BOC＝x|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＋y|\o(OB,\s\up6(→))|2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9＝x×2×3×cos120°＋y×1×3×cos90°,3×1×cos90°＝x×2×1×cos150°＋y×12)).，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＝9,－\r(3)x＋y＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝－3\r(3))).∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝－3eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\r(3)eq\o(OB,\s\up6(→