高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试 名师获奖

第二章推理与证明第二节直接证明和间接证明第三课时反证法一、课前准备1．课时目标（1）.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；（2）.了解反证法的思考过程、特点;(3).会用反证法证明问题.2．基础预探(1)．反证法.假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法．(2)．反证法常见矛盾类型.在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与 矛盾，与 、 、 、 或 矛盾，与

矛盾．（3）应用反证法的原则：，即如果一个命题的结论难以用直接法证明时可考虑用反证法．（4）方法实质：反证法是利用的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同，通过证明一个命题的命题的正确，从而肯定原命题真实.二、学习引领1.反证法的基本思想反证法的基本思想是：否定结论就会导致矛盾．它可以用下面的程序来表示：“否定———推理———矛盾———肯定．”“否定”———假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立．“推理”———从已知条件和假设出发，应用一系列的论据进行推理．“矛盾”———通过推导，推出与实际“需要”不符、与“公理”矛盾、与“已知定理”矛盾、与“定义”矛盾、与“题设”矛盾、自相矛盾等．“肯定”———由于推理过程正确．故矛盾是由假设所引起的，因此，假设是错误的，从而肯定结论是正确的．2.反证法证题的基本步骤（1）反设：假设原命题的结论不成立，即其反面成立；（2）归谬：以命题的条件和所作的假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）否定假设得出欲证结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。3．反证法解决的常见题型（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）一些基本定理；（3）“否定性”命题；（4）“惟一性”命题；（5）“必然性”命题；（6）“至少”、“至多”命题．三、典例导析题型一否定型命题例1、试证不是有理数。思路导析:要求证的结论是以否定的形式出现的，因此可应用反正法来进行证明。证明：假设是有理数，注意到，可设（、为互质的正整数，且），两边平方，得①，表明，是2的倍数，因为是正整数，故当是奇数时，令（），则，即是奇数，与是2的倍数矛盾。当是偶数，又可设（），代入①式，整理后得②，②式表明，是2的倍数。这样与都是2的倍数，它们至少有公因数2，与所作假定、为互质的正整数相矛盾。因此不是有理数。规律总结:在应用反证法证题时，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与自身相矛盾变式练习1求证：1，2，不可能是一个等差数列中的三项。题型二“至少”、“至多”型命题例2．设均为实数，且，，求证：中至少有一个大于0。思路导析:如果直接从条件出发推证，方向不明，思路不清，不移入手，较难，说证结论是以“至少”形式出现，因而可用反证法证明。证明：设中都不大于0，即而，这与矛盾，故中至少有一个大于0规律总结:当遇到命题的结论是以“至多”“至少”等形式给出时，一般是多用反证法；应注意“至少有一个”“都是”的否定形式分别是“一个也没有”“不都是”，本题是一个自相矛盾的题目类型。变式练习2已知，求证：中，至少有一个数大于25。题型三“唯一”性命题例3．求证：两条相交直线有且只有一个交点。思路导析:此题是含有“有且只有一个”的命题，可考虑用反证法进行证明。证明：假设结论不成立，则有两种情况：或者没有交点，或者不只一个交点。如果直线没有交点，那么∥，这与已知矛盾；如果直线不只有一个交点，则至少交于点，这样经过两点就有两条直线，这与两点确定以直线矛盾。由（1）和（2）可知，假设错误，所以，两条相交直线有且只有一个交点。规律总结:此题是证明一个命题的充要条件，用反证法证明了它的否定，从而获得结论正确，也可正面证明，需证明存在性和唯一性。在证明唯一性命题时，应找出除这一个元素外的其它的所有元素，并逐一推导出矛盾，排除掉。变式练习3已知函数的图象过点．问是否存在常数，使不等式对一切实数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．题型四肯定型命题例4．设函数对定义域上任意实数都有，且成立。求证：对定义域内的任意都有。思路导析:这是一个肯定型命题，可考虑用反正发来进行证明。证明：假设满足体设条件的任意都有部成立，即存在某个有，，，又因为，这与假设矛盾。假设不成立，故对定义域内的任意都有。规律总结:在反设命题的结论时要注意正确写出结论的否定形式是非常重要的。在本体中对“任意都有”的否定是“存在某个有”变式练习4求证：正弦函数没有比小的正周期．四、随堂练习一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°3.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线4.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．5.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．6.已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.五、课后作业1.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数2.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数3.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁4.用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．5.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、pn，令p＝p1p2…pn＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、pn.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．6.已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于eq\f(1,4).第三课时反正法答案解析一、基础预探（1）答案：不成立；假设错误；原命题成立（2）答案：已知条件；数学公理；定理；公式；定义；已被证明的结论；公认的简单事实（3）答案：正难则反（4）答案：互为逆否；真假；逆否三．典例导析变式训练1.证明：假设1，2，是公差为d的等差数列的第p，q，r项，则，于是。因为p，q，r均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。所以，1，2，不可能是一个等差数列中的三项。2.证明：假设命题的结论不成立，即均不大于25，那么，这与已知条件相矛盾。所以，中，至少有一个数大于25。3.解：假设存在符合条件的．的图象过，，即．又对一切实数都成立，令，则．，，．．由得据题意，对于任意实数，与都成立．对于，若，则，不合题意；若，欲使的解集为，则需即解得．对于，再考虑，把代入，得，其解集为．所以，存在满足条件的，其中．4.证明：假设是正弦函数的周期，且，则对任意实数都有成立．令，得，即，从而对任意实数都有，这与矛盾．所以正弦函数没有比小的正周期．四、随堂练习1.C[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2.B[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.3.C[解析]假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.4.没有一个是三角形或四边形或五边形[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”．5.③①②[解析]由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.6.[证明]用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．五、课后作业1.B[解析]a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.2.B[解析]“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．3.C[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.4.a，b都不能被5整除[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”．5.质数只有有限多个除p1、p2、…、pn之外[解析]由反证法的步骤可得．6.[证明]证法1：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于eq\f(1,4).∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.eq\f((1－a)＋b,2)≥eq\r((1－a)b)＞eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2)，同理eq\f((1－b)＋c,2)＞eq\f(1,2)，eq\f((1－c)＋a,2)＞eq\f(1,2).三式相加，得eq\f((1－a)＋b,2)＋eq\f((1－b)＋c,2)＋eq\f((1－c)＋a,2)＞eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)＞eq\f(3,2)，矛盾．所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).证法2：假设三个式子同时大于eq\f(1,4)，即(1－a)b>eq\f(1,4)，(1－b)c>eq\f(1,4)，(1－c)a>eq\f(1,4)，三式相乘得(1－