高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对于空间中任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是()A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量【解析】由共面向量定理易得答案A.【答案】A2．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【解析】eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝－2eq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))共线，又它们经过同一点B，∴A，B，D三点共线．【答案】A3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点()A．不共面 B．共面C．不一定共面 D．无法判断【解析】∵eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴点P，A，B，C四点共面．【答案】B4．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示向量eq\o(BD1,\s\up6(→))的结果为()图3­1­11\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))【解析】eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).故选B.【答案】B5．如图3­1­12，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1图3­1­12\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(GH,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0【解析】由题图观察，eq\o(EF,\s\up6(→))、eq\o(GH,\s\up6(→))、eq\o(PQ,\s\up6(→))平移后可以首尾相接，故有eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0.【答案】A二、填空题6．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．【解析】当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1，e2共面．【答案】①②③7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2xeq\o(BO,\s\up6(→))＋3yeq\o(CO,\s\up6(→))＋4zeq\o(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z的值为________．【解析】由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝x1eq\o(OB,\s\up6(→))＋y1eq\o(OC,\s\up6(→))＋z1eq\o(OD,\s\up6(→))，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.【答案】－18．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.【导学号：18490085】【解析】由已知可得：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BD,\s\up6(→))共线，即存在λ∈R使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,k＝－4λ，))解得k＝－8.【答案】－8三、解答题9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).【解】如图所示，(1)∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).又∵eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)).从而有eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.10.如图3­1­13，四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))是否共线．图3­1­13【解】∵M，N分别是AC，BF的中点，又四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝2(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→)))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线．[能力提升]1．若P，A，B，C为空间四点，且有eq\o(PA,\s\up6(→))＝αeq\o(PB,\s\up6(→))＋βeq\o(PC,\s\up6(→))，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若α＋β＝1，则eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝β(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝βeq\o(BC,\s\up6(→))，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，故eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(PB,\s\up6(→))－λeq\o(PC,\s\up6(→))，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.【答案】C2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(AA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))，那么M必()A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1【解析】由于eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋7eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(AA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋6eq\o(BA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1A1,\s\up6(→))＋6eq\o(BA1,\s\up6(→))－4eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝eq\o(PA1,\s\up6(→))＋6(eq\o(PA1,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))－4(eq\o(PD1,\s\up6(→))－eq\o(PA1,\s\up6(→)))＝11eq\o(PA1,\s\up6(→))－6eq\o(PB,\s\up6(→))－4eq\o(PD1,\s\up6(→))，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.【答案】C3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.【导学号：18490086】①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．【解析】当