高中数学北师大版第一章立体几何初步单元测试 学业分层测评7

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条 B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有【解析】设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行，∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．【答案】B2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，CDeq\o(⊆,\s\up0(/))平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行 B．平行或异面C．平行或相交 D．异面或相交【解析】由题意知，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．【答案】B3．三棱锥S­ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交 B．EF与BC平行C．EF与BC异面 D．以上均有可能【解析】由线面平行的性质定理可知EF∥BC.【答案】B4．如图1­5­27，四棱锥P­ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则()图1­5­27A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面PAD，MN平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.【答案】B5.如图1­5­28，平面α∥平面β，过平面α，β外一点P引直线l1分别交平面α，平面β于A、B两点，PA＝6，AB＝2，引直线l2分别交平面α，平面β于C，D两点，已知BD＝12，则AC的长等于()图1­5­28A．10 B．9C．8 D．7【解析】由l1∩l2＝P，知l1，l2确定一个平面γ，eq\b\lc\\rc\}(\a\al(由α∩γ＝AC,β∩γ＝BD,α∥β))⇒AC∥BD⇒eq\f(PA,PB)＝eq\f(AC,BD)，∴eq\f(6,6＋2)＝eq\f(AC,12)，解得AC＝9.【答案】B二、填空题6．如图1­5­29，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图1­5­29【解析】因为直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝eq\f(1,2)AC，又因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2)，所以EF＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)【导学号：10690020】【解析】①②⇒③.设过m的平面β与α交于l.∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵neq\o(⊆,\s\up0(/))α，lα，∴n∥α.【答案】①②⇒③(或①③⇒②)8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.【解析】∵MN∥平面AC，PQ＝平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2)a,3).【答案】eq\f(2\r(2)a,3)三、解答题9．如图1­5­30，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．图1­5­30【解】设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，且A1B平面A1BC1，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1∶1.10．如图1­5­31，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图1­5­31【证明】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(CP,PB).∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)，∴eq\f(CP,PB)＝eq\f(DN,NB)，∴NP∥CD∥AB.∵NPeq\o(⊆,\s\up0(/))平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MPeq\o(⊆,\s\up0(/))平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP平面MNP，NP平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.[能力提升]1．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点【解析】∵leq\o(⊆,\s\up0(/))α，∴l∥α或l与α相交．(1)若l∥α，则由线面平行的性质可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…这些交线都平行．(2)若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确．【答案】D2．如图1­5­32，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()图1­5­32A．2∶5B．3∶8C．4∶9D．4∶25【解析】由题意知，△A′B′C′∽△ABC，从而eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\f(PA′,PA))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\f(2,5))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,25).【答案】D3．如图1­5­33所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.图1­5­33【解析】A∉a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(AE,AB)，又eq\f(EG,BD)＝eq\f(AE,AB)，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(EG,BD)，于是EG＝eq\f(AF·BD,AC)＝eq\f(5×4,5＋4)＝eq\f(20,9).【答案】eq\f(20,9)4．如图1­5­34，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图1­5­34【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE