高中数学高考一轮复习一轮复习 第六节 离散型随机变量的均值与方差

课时作业(六十)离散型随机变量的均值与方差1．已知某射手射击所得环数X的分布列如表所示．X45678910P此射手“射击一次命中环数不大于8”的概率为()A． B．C． D．A[P(X≤8)＝1－P(X＝9)－P(X＝10)＝1－－＝.故选A．]2．已知随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝2，则m－n＝()X024Peq\f(1,4)mnA．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)B[由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＋\f(1,4)＝1，,E（X）＝2m＋4n＝2，))解得m＝eq\f(1,2)，n＝eq\f(1,4)，所以m－n＝eq\f(1,4).]3．(多选)(2023·山东聊城二模)随机变量ξ的分布列为ξ012Paeq\f(b,2)eq\f(b,2)其中ab≠0，下列说法正确的是()A．a＋b＝1B．E(ξ)＝eq\f(3b,2)C．D(ξ)随b的增大而减小D．D(ξ)有最大值ABD[根据分布列的性质得a＋eq\f(b,2)＋eq\f(b,2)＝1，即a＋b＝1，故A正确；根据数学期望公式得E(ξ)＝0×a＋1×eq\f(b,2)＋2×eq\f(b,2)＝eq\f(3b,2)，故B正确；根据方差公式得D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3b,2)))eq\s\up12(2)×a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3b,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(b,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3b,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(b,2)＝－eq\f(9,4)b2＋eq\f(5,2)b＝－eq\f(9,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(5,9)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,36)，因为0＜b＜1，所以当b＝eq\f(5,9)时，D(ξ)取得最大值eq\f(25,36)，故C不正确，D正确．故选ABD.]4．(多选)(2023·烟台期中)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则()A．抽取2次后停止取球的概率为eq\f(3,5)B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为eq\f(9,10)C．取球次数ξ的期望为2D．取球次数ξ的方差为eq\f(9,20)BD[袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，对于A，抽取2次后停止取球的概率为：eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10)，故A错误；对于B，停止取球时，取出的白球个数不少黑球的概率为：eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,10)，故B正确；对于C，P(ξ＝1)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(3,3)＝eq\f(1,10)，∴E(ξ)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2)，故C错误；对于D，取球次数ξ的方差为：D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,10)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,10)＝eq\f(9,20)，故D正确．故选BD.]5．随机变量ξ的分布列如下表：ξ0123Px则随机变量ξ的均值E(ξ)＝________．解析：由x＋＋＋＝1得x＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.答案：26．(2023·北仑区校级期中)在1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个自然数中，任取3个数，则这3个数恰有一个是偶数的概率________，记ξ为这3个数中两个数相邻的组数(例如：取出1，2，3则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ是2)，则E(ξ)＝________．解析：3个数中恰中有一个偶数的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(10,21)，ξ＝2，则数组为：123，234，345，456，567，678，789，共7个，此时P(ξ＝2)＝eq\f(7,Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(1,12)；ξ＝1，则数组为：124，125，126，127，128，129，235，236，237，238，239，341，346，347，348，349，451，452，457，458，459，561，562，563，568，569，671，672，673，674，679，781，782，783，784，785，891，892，893，894，895，896，共42个，此时P(ξ＝1)＝eq\f(42,Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(1,2)；P(ξ＝0)＝eq\f(84－42－7,84)＝eq\f(5,21)；E(ξ)＝0×eq\f(5,21)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(10,21)＝eq\f(2,3)；故答案为：eq\f(10,21)；eq\f(2,3).答案：eq\f(10,21)；eq\f(2,3)7．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解析：(1)X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝，D(X)＝(0－2×eq\f(1,2)＋(1－2×eq\f(1,20)＋(2－2×eq\f(1,10)＋(3－2×eq\f(3,20)＋(4－2×eq\f(1,5)＝.(2)由D(Y)＝a2D(X)得＝11，得a＝±2，又E(Y)＝aE(X)＋b，∴当a＝2时，由1＝2×＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×＋b，得b＝4，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4.))8．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：日需求量x(个)20304050天数510105(1)从这30天中任取2天，求2天的日需求量均为40个的概率；(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝eq\f(320,3).现有员工建议扩大生产，一天制作45个该类蛋糕，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．解析：(1)从这30天中任取2天，基本事件总数n＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(30))，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数m＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10))，∴2天的日需求量均为40个的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(30)))＝eq\f(3,29).(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y，P(Y＝－20)＝eq\f(1,6)，P(Y＝60)＝eq\f(1,3)，P(Y＝140)＝eq\f(1,3)，P(Y＝180)＝eq\f(1,6)，∴Y的分布列为Y－2060140180Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)E(Y)＝－20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(1,3)＋140×eq\f(1,3)＋180×eq\f(1,6)＝eq\f(280,3).∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝eq\f(320,3)，eq\f(280,3)<eq\f(320,3)，∴此建议不该被采纳．9．(多选)(2023·扬州期末)已知随机变量ξ的分布列是ξ－101peq\f(1,2)eq\f(1－p,2)eq\f(p,2)随机变量η的分布列是η123peq\f(1,2)eq\f(1－p,2)eq\f(p,2)则当p在(0，1)内增大时，下列选项中正确的是()A．E(ξ)＝E(η) B．D(ξ)＝D(η)C．E(ξ)增大 D．D(η)先增大后减小BC[对于A，∵η＝ξ＋2，∴E(η)＝E(ξ)＋2，故A错误；对于B，∵η＝ξ＋2，∴D(ξ)＝D(η)，故B正确；对于C，∵E(ξ)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)p，∴当p在(0，1)内增大时，E(ξ)增大，故C正确；对于D，∵E(η)＝eq\f(1,2)＋2×eq\f(1－p,2)＋3×eq\f(p,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(p,2)，∴D(η)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(p,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(p,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1－p,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(p,2)))×eq\f(p,2)＝－eq\f(1,4)(p－2)2＋eq\f(5,4)，∴当p在(0，1)内增大时，D(η)单调递增，故D错误．故选BC.]10．(2023·太原模拟)已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0<p<1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>，则p的取值范围为()A．(0，eq\f(1,2)) B．(0，eq\f(7,12))C．(eq\f(1,2)，1) D．(eq\f(7,12)，1)A[由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，由p∈(0，1)可得p∈(0，eq\f(1,2)).]11．(2023·广东四校联考)某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种特产水果只能在9月份销售，且该种特产水果当天食用口感最好，隔天食用口感较差．某超市每年9月份都销售该种特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每千克8元，销售价每千克12元，当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每千克只能卖到5元．根据往年销售经验，每天需求量与当地最高气温(单位：℃)有一定关系．若最高气温不低于30，则需求量为5000千克；若最高气温位于[25，30)，则需求量为3500千克；若最高气温低于25，则需求量为2000千克．为了制订今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的最高气温数据．得下面的频数分布表：最高气温[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数414362115以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求今年9月份这种特产水果一天需求量X(单位：千克)的分布列和数学期望；(2)设9月份一天销售这种特产水果的利润为Y(单位：元)，当9月份这种特产水果一天的进货量n(单位：千克)为多少时，Y的数学期望达到最大值，最大值为多少？解析：(1)今年9月份这种特产水果一天的需求量X的可能取值为2000，3500，5000.P(X＝2000)＝eq\f(4＋14,90)＝eq\f(1,5)，P(X＝3500)＝eq\f(36,90)＝eq\f(2,5)，P(X＝5000)＝eq\f(21＋15,90)＝eq\f(2,5).于是X的分布列为X200035005000Peq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(2,5)X的数学期望EX＝2000×eq\f(1,5)＋3500×eq\f(2,5)＋5000×eq\f(2,5)＝3800.(2)由题意知，这种特产水果一天的需求量至多为5000千克，至少为2000千克，因此只需要考虑2000≤n≤5000.当3500≤n≤5000时，若最高气温不低于30，则Y＝4n；若最高气温位于[25，30)，则Y＝3500×4－(n－3500)×3＝24500－3n.若最高气温低于25，则Y＝2000×4－(n－2000)×3＝14000－3n.此时EY＝eq\f(2,5)×4n＋eq\f(2,5)(24500－3n)＋eq\f(1,5)(14000－3n)＝12600－eq\f(1,5)n≤11900.当2000≤n＜3500时，若最高气温不低于25，则Y＝4n；若最高气温低于25，则Y＝2000×4－(n－2000)×3＝14000－3n.此时EY＝eq\f(4,5)×4n＋eq\f(1,5)(14000－3n)＝2800＋eq\f(13,5)n<11900.所以n＝3500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为11900.12．(2023·山东枣庄、滕州联考)2023年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光．一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公