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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,其中a,b是实数,则()A.1 B.2 C. D.2.已知直线:与椭圆交于、两点,与圆:交于、两点.若存在,使得,则椭圆的离心率的取值范围为()A. B. C. D.3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为11,则图中的判断条件可以为()A. B. C. D.4.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边,已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()A. B. C.1 D.5.已知抛物线:的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,其中点在第一象限,若弦的长为,则()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或6.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.若,,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.8.已知偶函数在区间内单调递减,,,,则,,满足()A. B. C. D.9.已知椭圆的中心为原点,为的左焦点,为上一点,满足且,则椭圆的方程为()A. B. C. D.10.如图所示的程序框图输出的是126,则①应为()A. B. C. D.11.过点的直线与曲线交于两点,若,则直线的斜率为()A. B.C.或 D.或12.设,,,则,,三数的大小关系是A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示梯子结构的点数依次构成数列,则________.14.若且时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为________.15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现已日益成为老百姓了解国家动态,紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中,将六大板块依次各完成一次,则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.16.如图是一个算法伪代码,则输出的的值为_______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.18.(12分)已知二阶矩阵A=abcd,矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α119.(12分)如图所示,已知平面,,为等边三角形,为边上的中点,且.(Ⅰ)求证:面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求该几何体的体积.20.(12分)已知矩阵,且二阶矩阵M满足AMB,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.21.(12分)已知函数,,.函数的导函数在上存在零点.求实数的取值范围;若存在实数,当时,函数在时取得最大值,求正实数的最大值;若直线与曲线和都相切,且在轴上的截距为,求实数的值.22.(10分)已知椭圆:的四个顶点围成的四边形的面积为,原点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点,是否存在过的直线,使与椭圆交于,两点,且以为直径的圆过椭圆的左顶点?若存在,求出的方程:若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据复数相等,可得,然后根据复数模的计算,可得结果.【详解】由题可知:,即,所以则故选:D【点睛】本题考查复数模的计算,考验计算,属基础题.2、A【解析】
由题意可知直线过定点即为圆心,由此得到坐标的关系,再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系,由此化简并求解出离心率的取值范围.【详解】设,且线过定点即为的圆心,因为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以.故选:A.【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用,着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用,难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的,大大简化运算.3、B【解析】
根据程序框图知当时,循环终止,此时,即可得答案.【详解】,.运行第一次,,不成立,运行第二次,,不成立,运行第三次,,不成立,运行第四次,,不成立,运行第五次,,成立,输出i的值为11,结束.故选:B.【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.4、D【解析】
根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得,即的值,由此求得和的值,进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边为直径的半圆的面积之比为,所以,即,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式,属于基础题.5、C【解析】
先根据弦长求出直线的斜率,再利用抛物线定义可求出.【详解】设直线的倾斜角为,则,所以,,即,所以直线的方程为.当直线的方程为,联立,解得和,所以;同理,当直线的方程为.,综上,或.选C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时,一般考虑抛物线的定义.6、A【解析】
计算,得到答案.【详解】根据题意,故,表示的复数在第一象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力和理解能力.7、D【解析】
根据指数函数的性质,取得的取值范围,即可求解,得到答案.【详解】由指数函数的性质,可得,即,又由,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小,其中解答中熟记指数函数的性质,求得的取值范围是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.8、D【解析】
首先由函数为偶函数,可得函数在内单调递增,再由,即可判定大小【详解】因为偶函数在减,所以在上增,,,,∴.故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,属于中档题.9、B【解析】由题意可得c=,设右焦点为F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以椭圆的方程为.故选B.点睛:椭圆的定义:到两定点距离之和为常数的点的轨迹,当和大于两定点间的距离时,轨迹是椭圆,当和等于两定点间的距离时,轨迹是线段(两定点间的连线段),当和小于两定点间的距离时,轨迹不存在.10、B【解析】试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.∵S=2+22+…+21=121,故①中应填n≤1.故选B点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.11、A【解析】
利用切割线定理求得,利用勾股定理求得圆心到弦的距离,从而求得,结合,求得直线的倾斜角为,进而求得的斜率.【详解】曲线为圆的上半部分,圆心为,半径为.设与曲线相切于点,则所以到弦的距离为,,所以,由于,所以直线的倾斜角为,斜率为.故选:A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.12、C【解析】
利用对数函数,指数函数以及正弦函数的性质和计算公式,将a,b,c与,比较即可.【详解】由,,,所以有.选C.【点睛】本题考查对数值,指数值和正弦值大小的比较,是基础题,解题时选择合适的中间值比较是关键,注意合理地进行等价转化.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据图像归纳,根据等差数列求和公式得到答案.【详解】根据图像:,,故,故.故答案为:.【点睛】本题考查了等差数列的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.14、【解析】
将不等式两边同时平方进行变形,然后得到对应不等式组,对的取值进行分类,将问题转化为二次函数在区间上恒正、恒负时求参数范围,列出对应不等式组,即可求解出的取值范围.【详解】因为,所以,所以,所以,所以或,当时,对且不成立,当时,取,显然不满足,所以,所以,解得;当时,取,显然不满足,所以,所以,解得,综上可得的取值范围是:.故答案为:.【点睛】本题考查根据不等式恒成立求解参数范围,难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法:(1)分类讨论法:分析参数的临界值,对参数分类讨论;(2)参变分离法:将参数单独分离出来,再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.15、【解析】
先分间隔一个与不间隔分类计数,再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.【详解】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻,则学习方法有种;若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;因此共有种.故答案为:【点睛】本题考查排列组合实际问题,考查基本分析求解能力,属基础题.16、5【解析】
执行循环结构流程图,即得结果.【详解】执行循环结构流程图得,结束循环,输出.【点睛】本题考查循环结构流程图,考查基本分析与运算能力,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】
(1)令,,利用可求得数列的通项公式,由此可得出数列的通项公式;(2)求得,利用裂项相消法求得,进而可得出结论.【详解】(1)令,,当时,;当时,,则,故;(2),.【点睛】本题考查利用求通项,同时也考查了裂项相消法求和,考查计算能力与推理能力,属于基础题.18、A=【解析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知,Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2,b=3,c=2,d=1.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵,只需运用定义得出方程组即可求出结果,较为简单19、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明四边形为平行四边形,证得,由此证得平面.(II)利用,证得平面,从而得到平面,由此证得平面平面.(III)作交于点,易得面,利用棱锥的体积公式,计算出棱锥的体积.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,则,,故四边形为平行四边形.故.又面,平面,所以面.(Ⅱ)为等边三角形,为中点,所以.又,所以面.又,故面,所以面平面.(Ⅲ)几何体是四棱锥,作交于点,即面,.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查四棱锥体积的求法,考查空间想象能力,所以中档题.20、特征值为1,特征向量为.【解析】
设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M,然后利用可求特征值的另一个特征向量.【详解】设矩阵M=,则AM=,所以,解得,所以M=,则矩阵M的特征方程为,解得,即特征值为1,设特征值的特征向量为,则,即,解得x=0,所以属于特征值的的一个特征向量为.【点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解,矩阵运算的关键是明确其运算规则,侧重考查数学运算的核心素养.21、;4;12.【解析】
由题意可知,,求导函数,方程在区间上有实数解,求出实数的取值范围;由,则,分步讨论,并利用导函数在函数的单调性的研究,得出正实数的最大值;设直线与曲线的切点为,因为,所以切线斜率,切线方程为,设直线与曲线的切点为,因为,所以切线斜率,即切线方程为,整理得.所以,求得,设,则,所以在上单调递增,最后求出实数的值.【详解】由题意可知,,则,即方程在区间上有实数解,解得;因为,则,①当,即时,恒成立,所以在上单调递增,不符题意;②当时,令,解得:,当时,,单调递增,所以不存在,使得在上的最大值为,不符题意;③当时,,解得:,且当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,若,则在上单调递减,所以,若,则上单调递减,在上单调递增,由题意可知,,即,整理得,因为存在,符合上式,所以,解得,综
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