高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语命题及其关系 2023版学业分层测评1

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列语句不是命题的有()①2＜1；②x＜2016；③若x＜2，则x＜1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数.个 个个 个【解析】②不是命题，故选B.【答案】B2.下列命题是真命题的是()A.{∅}是空集B.{x∈N||x－1|＜3}是无限集C.π是有理数－5x＝0的根是自然数【解析】解方程x2－5x＝0得x＝0或x＝5.故D正确.【答案】D3.命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D.这个四边形是平行四边形【解析】把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确.【答案】C4.下列命题正确的是()A.若a＞b，则ac2＞bc2 B.若a＞－b，则－a＞bC.若ac＞bc，则a＞b D.若a＞b，则a－c＞b－c【解析】当c＝0时选项A不正确；a＞－b时，－a＜b，选项B不正确；当c＜0时，选项C不正确；由不等式的性质知选项D正确，故选D.【答案】D5.下列说法正确的是()A.命题“x＋y为有理数，则x，y也都是有理数”是真命题B.语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“当x＜0时，方程x2－4x＝0有负根”是假命题【解析】选项A不正确，如x＝eq\r(3)，y＝－eq\r(3)，则x＋y＝0为有理数；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根.”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D是正确的.【答案】D二、填空题6.把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________.【导学号：97792057】【答案】若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除7.命题“3mx2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________.【解析】“3mx2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论.当m＝0时，1＞0恒成立，所以m＝0满足题意；当m＞0时，且Δ＝m2－12m＜0，即0＜m＜12时，3mx2＋mx＋1＞0恒成立，所以0＜m当m＜0时，3mx2＋mx＋1＞0不恒成立.综上知0≤m＜12.【答案】[0,12)8.设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|其中是真命题的序号是________.【解析】由于c与b不一定共线，故①错；又[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，从而知③错.【答案】②④三、解答题9.判断下列命题的真假，并说明理由.(1)函数y＝ax是指数函数；(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2有唯一解.【解】(1)当a＞0且a≠1时，函数y＝ax是指数函数，所以是假命题.(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2，即(a－1)x＝1，当a＝1时，方程无解；当a≠1时，方程有唯一解，所以是假命题.10.已知命题p：x2－2x－2≥1；命题q：0<x<4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围.【导学号：97792058】【解】由x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.故命题p：x≤－1或x≥3.又命题q：0<x<4，且命题p为真，命题q为假，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－1或x≥3，,x≤0或x≥4，))所以x≤－1或x≥4.综上，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞).[能力提升]1.给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()B.2D.－3【解析】方程无实根时，应满足Δ＝a2－4＜0.故当a＝0时适合条件.【答案】C2.设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β，那么()A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题【解析】由α∥β，可知，l与m平行或异面，①是假命题.②也是假命题，α与β还可能平行或相交但不垂直.【答案】D3.把下面命题补充完整，使其成为一个真命题.若函数f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________.【解析】设g(x)图象上任一点(x，y)，则它关于x轴的对称点为(x，－y)，此点在f(x)的图象上，故有－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x(x＞0).【答案】－3－log2x(x＞0)4.已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B＝∅是真命题，求实数m【导学号：97792059】【解】当Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)<0，即－1<m<eq\f(3,2)时，A＝∅，A∩B＝∅是真命题；当Δ≥0，即m≤－1或m≥eq\f(3,2)时，设方程x2－4mx＋2m＋6＝0