高中数学人教A版第一章集合与函数概念函数的基本性质（市一等奖）

6．函数的单调性黄文辉学习目标1．理解函数的单调性，体会怎样由图象语言、文字语言的自然描述转化到数学符号语言描述函数的单调性．2．能差别或证明一些简单的单调性．3．能够通过图象来判断单调性和单调区间．4．理解最大（小）值及其几何意义．5．掌握一次、二次函数、反比例函数的单调性．一、夯实基础基础梳理1．增函数和减函数增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的__________两个自变量的值，当时，都有：那么就说函数在区间上是增函数．__________那么就说函数在区间上是减函数．几何意义函数在区间上的图象是__________的．函数在区间上的图象是__________的．图解表示2．单调性与单调区间如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有单调性，区间叫做的__________．3．题型分析（1）用定义证明（判断）函数的单调性；（2）求函数的单调区间；（3）利用函数的单调性求参数的取值范围．基础达标1．给出函数：①；②；③；④，，其中在其定义域上是增函数的函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D2．已知函数满足条件：，则关于这一函数正确的说法是（）A．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增B．函数在区间上单调递减，在区间上单调递减C．函数在区间上的最小值是D．函数在区间上一定不单调递增，在区间上一定不单递减3．函数是定义在上单调递减函数，且过点和，根据函数的图象，可以得知不等式的解集是（）A． B．C． D．4．解决下列问题：（1）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是__________．（2）根据函数的图象，写出其单调递增区间是__________．（3）根据函数的图象，写出其单调递减区间是__________．5．根据最大值的定义，证明的最大值为，写出取最大值时的．二、学习指引自主探究1．下列函数哪几个函数在给定的区间内任意取两个自变量，当时，都有？（1），；（2）；（3），；（4）；（5）；（6）．2．（1）根据函数单调性定义，在观察函数的图象基础上，请写出一次函数、二次函数有的单调区间．（2）证明在区间上单调递减．3．若函数在区间上单调递增且在区间[3，4]上也单调递增，我们能否说[-1，2][3，4]是函数的递增区间？我们能否说反比例函数在定义域上单调递增，为什么？4．仔细阅读、理解和记忆教材上的函数单调性的定义，判断下列说法是否正确；（1）若定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；（2）若定义在上的函数满足，则函数是上不是减函数；（3）若函数在和上都是增函数，则函数在上是增函数；（4）若函数在和上都是增函数，则函数在上是增函数；5．函数在给定区间上单调递增时，其图象有不同的形态，观察下列三个函数的图象，随的增大而增大速度最快的是哪一个，你是如何判断的？ 6．关于函数的最大（小）值，下列哪些说法是正确的？（1）定义在上的函数满足对任意的，都有，则有最大值6．（2）如果函数在给定区间上的图象是连续不断的一条曲线，那么一定有最大（小）值．7．思维拓展：已知函数的定义域是，函数的定义域是，对于任意的，．（1）试根据下列条件，用“单调增函数”、“单调减函数”填空：单调增函数单调增函数单调增函数单调减函数单调减函数单调增函数单调减函数单调增函数（1）你能否说出函数的单调性与函数的单调性有何内在的联系？写出的单调区间．在判断的单调区间时需要注意哪些问题？（3）请选择表格中的一个结论进行论证．案例分析1．下列函数中，在上为减函数的是（）A． B．C． D．【答案】C．【解析】注意到函数是以为对称轴的开口向下的抛物线，在上为增函数；是以为对称轴的开口向上的抛物线，在上是减函数，在上是减函数；是以为对称轴的开口向上的抛物线，在上是减函数，在上是减函数；的图象是出现在第2和第4象限的两支双曲线，在上单调递增．2．画出下列函数图象，并写出相应函数的单调区间．（1）；（2）【解析】（1）（图略）函数的单调增区间为，单调减区间为（）；（2）如图，函数在实数集上是减函数．3．（1）根据最小值的定义，证明的最小值为2，写出取最小值时的．（2）判断（）的单调性，并求函数的最大值和最小值．【解析】（1）任取，则（当且仅当时取等号）．由于，所以，即．所以，当时，的最小值是．（2）任取，且设元求差=变形，由，且，得断号所以，即，故在区间上是减函数．结论所以，当时，有最小值2；没有最大值．三、能力提升能力闯关1．函数是定义在上的减函数，是定义在上的增函数，则下列函数中在上一定是增函数的是（）A． B．C． D．2．解决下列问题：（1）设函数是定义上的减函数，若，求实数的取值范围．（2）已知是定义在实数集上的增函数，若（），能否确定与的大小关系？若能，试比较它们的大小；若不能，请说明理由．3．求证：函数在上是单调减函数．拓展迁移4．已知函数．若在区间是增函数，求实数的取值范围．5．设定义在上的函数对于任意都有成立，且，当时，．（1）判断的单调性，并加以证明；（2）试问：当时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．挑战极限6．设函数的定义域为，当时，恒有成立，且对任意，恒有，求证：（1）为增函数；（2）；（3）．（3）由（2）得，课程小结1．高中学习函数单调性知识，是一个逐步提高认识的过程，随着高二导数知识的介入，我们研究函数单调性的方法和手法也会变得灵活多样．高一时期学习函数单调性知识，应注意体会由图象语言、文字语言的自然描述转化到数学符号语言描述函数的单调性．2．单调性是函数的局部性质，在定义域的不同区间，单调性可能不同．3．在函数单调性的定义中，要特别强调的“任意”这个词．由此可知，若要说明函数在某个区间上不是单调增（减）函数，只要在该区间上，找到两个值，当，有（）成立，即可说明该区间不是函数的增（减）区间．4．证明函数在给定区间上的单调性的方法与步骤：设元，求差，变形，断号，定论．5．数学学习程度比较好的同学研究下列问题：（1）若在同一区间上都是单调增函数，那么函数在此区间上是否一定是单调增函数．（2）函数的单调性与复合函数的单调性有何内在关系．6．认真理解函数的最大（小）值的定义，求函数的最大（小）值的基本思路是研究函数的单调性．想一想每一个函数都是单调函数吗？

6．函数的单调性基础梳理1．任意，，，上升，下降．2．单调区间．基础达标1．．．．．．【解析】仅③④满足要求，这里要特别注意②在其定义域上不是增函数．2．．【解析】仅由几个函数值的大小关系无法确定函数的单调性，可以举反例说明．3．．【解析】根据题意画出函数示意图（如右图），不等式，从函数图象容易看出当且仅当时，．故所求解集为．4．【解析】（1）当且仅当对称轴，即时，函数在区间上是增函数，所以实数的取值范围是．（2）函数的图象如右图：单调递增区间是：．（3）其单调递减区间是：．5．【解析】（1）任取，则（当且仅当时取等号）．由于，所以，即．所以，当时，的最大值是．自主探究1．【解析】（1）（2）（3）（4）．2．【解析】（1）对于一次函数，当，函数在定义域上单调递增；当，函数在定义域上单调递减．对于一般的二次函数．分两种情况：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）证明：任取，且，则，∵，，又，∴，即，∴，故二次函数，当时，函数在区间上单调递减．3．【解析】首先函数的单调性是针对定义域内某个区间而方的，离开取值区间来谈论函数单调性是没有意义的，其次区间必须是某一连续取值范围，不能有取值间断点，所以不是区间，更加不能作为单调区间，再其次函数在区间上单调递增且在区间上也单调递增，也不能保证函数在上随着的增大，相应的也一定增大（如图所示），综上各种理由，我们不能说是函数的递增区间．显然我们也不能说反比例函数在定义域上单调递增，原因是但．4．【解析】（1）是错误的，我们不能根据有限个点来判断函数增减性，这里应深刻理解函数单调性定义中的“任意的两个自变量”的意义．（2）是正确的．（3）是错误的，如右图所示；（4）是正确的，可用定义严格证明．5．【解析】（3）速度最快，在图象上任取两点根据来比较即可．6．【解析】均不对，对于（1）可能不存在，例如，但不能说的最小值是．对于（2）在开区间既没有最大值，又没有最小值．7．思维拓展：【解析】（1）答案分别是：单调增函数、单调减函数、单调增函数、单调减函数．（2）“同增异减”．的单调区间是．在判断的单调区间时需要注意是否有“对于任意的”．（3）已知：函数在定义域内为减函数，在定义域内为减函数，对于任意的，．求证：在内为增函数．证明：设，且，∵在定义域内为减函数，∴，且．∵在定义域内为减函数，，，∴，∴在内为增函数．能力闯关1．．【解析】由定义可以断定，举反例也能排除．2．【解析】（1）由函数是定义上的减函数，及，得到所以实数的取值范围是．（2）能，证明如下：由已知，所以，由是实数集上的增函数，得，同理可得，两式相加即得．3．【解析】方法一：设，则，∵，∴，∵，∴，同理，所以，即，所以，故在上是单调减函数．方法二：函数可化为，于是可直接比较与的大小，后略．拓展迁移4．【解析】设，，由，得，，于是在区间是增函数恒成立，所以，所以实数的取值范围．5．【解析】（1）函数在上单