高中数学人教A版第四章圆和方程 第25课时

第25课时圆的标准方程课时目标1.会用定义推导圆的标准方程，并能判断点与圆的位置关系．2．掌握圆的标准方程并会利用待定系数法求圆的标准方程．3．会利用圆的标准方程解决与圆有关的简单问题．识记强化1．圆的标准方程：(1)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．(2)圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它表示的是以(a，b)为圆心，r为半径的圆．如果圆心在原点，圆的方程是x2＋y2＝r2.2．确定圆的方程的方法和步骤：确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a，b，r，或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组．(3)解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．3．点与圆的位置关系：如果圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r，则有：(1)若点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(2)若点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(3)若点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．已知一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1,0)，4B．(－1,0)，2eq\r(2)C．(0,1)，4D．(0，－1)，2eq\r(2)答案：D解析：由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，知圆心为(a，b)，半径为r，易知答案为D.2．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116答案：B解析：圆心为线段AB的中点(1，－3)，半径为eq\f(|AB|,2)＝eq\f(1,2)eq\r(6＋42＋－1＋52)＝eq\r(29)，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.故选B.3．已知圆心在点P(－2,3)，并且与y轴相切，则该圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4C．(x－2)2＋(y＋3)2＝9D．(x＋2)2＋(y－3)2＝9答案：B解析：圆与y轴相切，由半径r＝|x0|＝2，圆心P(－2,3)∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝4.4．自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，切点为B，则AB的长为()\r(5)B．3\r(10)D．5答案：B5．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25的内部，那么实数a的取值范围是()A．(－4,3)B．(－5,4)C．(－5,5)D．(－6,4)答案：A解析：由a2＋(a＋1)2＜25，可得2a2＋2a－24＜0，解得－4＜6．在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是()A．(5,1)B．(4,1)C．(eq\r(2)＋2，eq\r(2)－3)D．(3，－2)答案：D解析：点(0，－5)与圆心(2，－3)连线所在的直线方程为y＝x－5，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－5,x－22＋y＋32＝2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－4))，经检验点(3，－2)符合题意．二、填空题(每个5分，共15分)7．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．答案：5＋eq\r(2)解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为eq\r(2－32＋3－42)＋5＝5＋eq\r(2).8．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________．答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.9．若实数x、y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是________．答案：1解析：曲线表示以(－5,12)为圆心，14为半径的圆，x2＋y2表示圆周点到原点的距离的平方．最小为1.三、解答题10．(12分)求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．解：设圆心为(a,0)，则eq\r(a－12＋16)＝eq\r(a－22＋9)，所以a＝－2.半径r＝eq\r(a－12＋16)＝5，故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.11．(13分)已知圆C经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求圆C的方程．解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋－3－b2＝r2,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝－2.,r2＝10))所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.能力提升12．(5分)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．答案：(x－2)2＋y2＝10解析：设所求圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－a2＋12＝r2，,1－a2＋32＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,r2＝10，))所以所求圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.13．(15分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以AD边所在直线的斜率为－3.又点T(－1,1)在AD边所在直线上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4