高中数学北师大版第二章解三角形 精品获奖

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角为()\f(π,3) \f(π,6)\f(π,4) \f(π,12)解析：∵a＞b＞c，∴C为最小角，且0＜C＜60°，由余弦定理cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∴C＝eq\f(π,6).答案：B2．如果将一直角三角形的三边长都增加1，则新三角形是()A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定解析：设直角三角形的三边长分别为a，b，c，且c为斜边，则a2＋b2＝c2，则(a＋1)2＋(b＋1)2－(c＋1)2＝1＋2(a＋b－c)>0.则这个三角形的最大角为锐角，故新三角形为锐角三角形．答案：B3．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则角A的取值范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))解析：根据余弦定理：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0，∴A为锐角．∵在不等边三角形中，a是最大边，∴A是最大角，∴△ABC为锐角三角形，∴eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2).答案：B4．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABCA．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形解析：∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－eq\f(1,2)ab，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,4)＜0.则△ABC是钝角三角形．故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．△ABC中a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，c＝eq\r(6)，则△ABC的形状是______．解析：∵c>b>a，∴C为最大角．∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2＋3－6,2·\r(2)·\r(3))＝－eq\f(1,2\r(6))<0.∵C为三角形内角，∴C为钝角．∴△ABC为钝角三角形．答案：钝角三角形6．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq\r(3)b＝12，则c的值为________．解析：由3a＝eq\r(3)b＝12，得a＝4，b＝4eq\r(3)，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.答案：4或8三、解答题(每小题10分，共20分)7．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝eq\f(1,4).若a＝4，b＋c＝6，且b<c，求b、c的值．解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，∴16＝36－eq\f(5,2)bc，∴bc＝8.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6，,bc＝8，,b<c))可求得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2,c＝4)).8．在△ABC中，已知sinA＝eq\f(3,5)，sinA＋cosA＜0，a＝3eq\r(5)，b＝5，求c.解析：∵sinA＋cosA＜0，且sinA＝eq\f(3,5)，∴cosA＝－eq\r(1－sin2A)＝－eq\f(4,5)，又∵a＝3eq\r(5)，b＝5，∴由a2＝b2＋c2－2bcosA，得(3eq\r(5))2＝52＋c2－2×5×c×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))，即c2＋8c－20＝0.解得c＝2或c＝－10(舍去)∴c＝2.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC＝(2a－c)cosB(1)求角B的大小；(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．解析：(1)由已知及正弦定理，得sinBcosC＝(2sinA－sinC)cosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，∴sin(B＋C)＝2sinAcosB.∵sin(B＋C)＝sinA≠0，∴2cosB＝1，即cosB＝eq\f(1,2)，∴B＝60°.(2