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文档简介

协方差与相关系数解析对于二维随机变量，除了关心它的各个分量的数学期望和方差外，还需要知道这两个分量之间的相互关系，这种关系无法从各个分量的期望和方差来说明，这就需要引进描述这两个分量之间相互关系的数字特征——协方差及相关系数，但如何来刻画这种关系呢？一、协方差与相关系数的概念及性质

1.问题的提出协方差Covariance2.定义若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且注：协方差取值的大小要受到量纲的影响,为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差。3.说明离散型随机向量其中P{X=xi,Y=yj}=pij

i,j=1,2,3,….连续型随机向量协方差的计算4.协方差的计算公式证例：设(X,Y)服从区域D:0<x<1,0<y<x上的均匀分布,求X与Y的相关系数D1x=y解5.性质——课本上没有b.相关系数的性质

(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X与Y不相关XY=0;a.协方差的性质——课本100页定理——课本101页定理(3)设随机变量X与Y独立，则它们的相关系数等于零，即ρXY=0——课本102页推论相关系数的意义若=0，Y与X无线性关系;Y与X有严格线性关系;若若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;|

|的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.注：需要指出的是:这里的不相关,指的是从线性关系上看没有关联,并非X与Y之间没有任何关系,也许此时还存在别的关系独立与不相关都是随机变量之间相互联系程度的一种反映,独立指的是X与Y没有任何关系，不相关指的X与Y之间没有线性相关关系．(1)不相关与相互独立的关系注相互独立不相关特例：若(X,Y)服从二维正态分布，则X,Y相互独立不相关(2)不相关的充要条件于是由:得这说明X与Y是不相关的,但显然，X与Y是不相互独立的

例若X~N(0,1),Y=X2,问X与Y是否不相关？

解因为X~N(0,1),密度函数为偶函数,所以解例结论:解例三、协方差矩阵四、相关系数矩阵五、内容小结协方差与相关系数的定义b.相关系数的性质

(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b使

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