高中数学人教A版第三章函数的应用函数与方程 优秀

用己知的函数模型解决问题一、课前准备1．课时目标（1）掌握函数的思想方法，即通过求出或构造出函数来解决问题；（2）学会运用函数知识解决某些简单的实际问题；（3）梳理社会生活中普遍使用的函数模型，并进行简单的应用。2．基础预探（1）叫做一次函数；叫做二次函数；叫做指数函数；叫做对数函数；叫做幂函数。（2）指数函数的主要性质有，指数函数与对数函数的关系是。二、基本知识习题化1.按复利计算，若存入银行5万元，年利率2%，3年后支取，则可得利息(单位:万元)为（）.A.5(1+B.5(1+C.5(1+-5C.5(1+-52.x克a%盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为（）.A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x3.现有含盐15%的盐水400克，张老师要求将盐水浓度变为12%，某同学由于计算错误加进了110克水，要使浓度重新变为A、倒出10千克盐水B、再加入10千克盐水C、加入10千克盐水D、再加入1411克4.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=（×[m]+1）元给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数（职[3]=3，[]=4），则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为元.5.已知镭经过100年，质量便比原来减少％，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为.三、学习引领1、函数应用题的解题步骤求解函数应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数模型，并要注意定义域，然后建立其解析式，最后结合其实际意义作出解答。解题步骤：第一步：阅理解读审清题意读题主要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。第二步：引进数学符号，建立数学模型一般地设自变量为，函数为，必要时引入其他相关辅助变量，用和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识，物理知识及其相关知识建立关系式，在此基础上讲实际问题转化为一个函数问题，实际问题的数学化，即所谓建立数学模型。第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果。第四步：再讲所得的结果转译成具体问题的解答。2、建立函数模型解决实际问题及注意问题（1）图解函数建模型的过程和步骤：理论探究1：（同种函数模型不同增长速度）理论探究1：（同种函数模型不同增长速度）实例1（同种函数模型不同增长速度）实际到生活实际到生活特殊到一般特殊到一般理论探究2理论探究2：（不同种函数模型增长速度）实例2（不同种函数模型增长速度）（2）解决实际问题时，要注重函数的定义域，这往往是解决最值问题的关键，并结合实际问题的具体意义作出正确大的解答；应注意掌握积累一些常见的应用题类型的解题方法和思路，如最值问题，增长率利率问题，分期付款问题等，还应逐步增强数字计算与近似计算的技能和技巧。四、典例导析1、一次函数为模型的应用：11060200100O/元/度11060200100O/元/度⑴用电量为100度时，应交电费为元；⑵当时，求关于之间的函数关系式；⑶月用点量为260度时，应交电费多少元？思路导析：根据函数模型，建立分段函数模型的解析式，特别重视定义域的书写。解析：⑴由图形可知，与函数关系的图象是一条直线，因此可用一次函数知识解决，当用电量为100度时，应交电费为60元；⑵设所求的函数关系式为，∵直线经过点和，∴解得，∴关于之间的函数关系式为.⑶∵，∴将代入，解得，∴月用点量为260度时，应交电费140元.规律总结：本题是把实际问题转化为数学模型，建立一次函数关系式，利用一次函数性质解题.变式练习1、电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费（元）与通话施加（分钟）之间的关系如图所示（实线部分，且MN应付话费（元）通话时间（分钟）⑴若通话时间为2小时，按方案应付话费（元）通话时间（分钟）⑵方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？⑶通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？2、二次函数模型的应用：图1例2、某投资公司计划投资、两种图1金融产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，产品的利润与投资量的算术平方根成正图2图2单位：万元）。（1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？思路导析:根据两个函数图象建立相应的函数关系式，最后确定公司利润的函数关系，利用函数的性质求解。解：（Ⅰ）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元．由题意设，．由图可知，∴．又，∴．从而，．（Ⅱ）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元．，令，则．当时，，此时．答：当产品投入6万元，则产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为万元．规律总结：本题是把实际问题建立函数关系式，由函数图象等给出条件，解题时要抓住图象特征，抓住关键点的坐标，确定函数解析式，求解实际问题.变式练习2、某商品在最近100天内的价格与时间t的函数关系是：销售量与时间t的函数关系是：g(t)=－t+(0≤t≤100,t∈N),求这种商品的日销售额S(t)的最大值。3、以指、对、幂函数为模型的数学建模：例3、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：⑴从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为.⑵据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.思路导析：本题为一次函数与指数函数模型的实际应用问题，根据一次函数与指数函数的性质，进行相应的解答，作出作出最后的结论。解析：⑴图中直线的斜率为，方程为，点在曲线上，所以，所以，因此.⑵因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于毫克，学生也不能进入教室，所以，只能当药物释放完毕后，室内药量减少到毫克以下时，学生方可进入教室，即，解得.规律总结：本题是以指数函数为背景的实际应用问题，通过利用指数函数的性质解决实际应用问题，体现函数与方程思想，在解题时要注重实际问题对变量参数的限制条件，防止误解错解.变式练习3、某地区心脏病发病人数呈上升趋势．经统计分析，从1996年到2023年的10年间每两年上升，2023年和2023年两年共发病815人．如果不加控制，仍按这个比例发展下去，从2023年到2023年将有多少人发病？五、随堂练习1、某种产品的总成本（万元）与产量之间的函数关系式为且，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）

A、100台

B、120台

C、150台

D、180台2、用长度为24m的材料围一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（

）A、3

B、4

C、6

D、123、按复利计算储蓄利率，存入银行a万元，年利率了b%，x年后支取，本息和应为(

）A、a(1+b%)x-1万元

B、a(1+b%)x万元

C、a(1+b%)x+1万元

D、a[1+(b%)x]万元4、有一批材料可以围成36m的围墙，如图，用此材料在一边靠墙的地方，围在一块矩形场地且中间用同样材料隔成两块矩形，试求所围矩形面积的最大值是_______。5、一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本。6、某人开汽车以60km/h的度从A地到150km远处的B，在B地停留1小时后，再以50km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图像，再把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数和图像。六、课后作业1、我国工农业总产值从1980年至2000年的20年间翻两番，设平均每年的增长率为x，则（

）

A.(1+x)19=4

B.（1+x）20=2C.(1+x)20=3

D.(1+x)2、某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（

）

A、10%

B、90%

C、11%

D、%

3、某工厂同时生产两种成本不同的产品A和B，由于市场销售情况发生变化，A产品连续两次提价20%，而B产品连续两次分别降低20%，结果A、B两产品均以每件元的价格售出，则该厂此时同时售出A、B产品各1件时，比原价格售出时，它的盈亏情况是（

）

A、亏

B、盈

C、不亏不盈

D、与现在的价格有关4、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，己知总收益满足函数：

，其中x是仪器的月产量。

(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）6、假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8％）．计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式．（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78％，试确定x的范围．用己知的函数模型解决问题一、课前准备2．基础预探（1），，，（2）函数的定义域为R，值域为，当时，指数函数为单调增函数，当时，函数为单调减函数，且所有的指数函数都经过定点二、基本知识习题化1.解析：由题意得，三后支取为万元。2.解析：克的盐水中含盐克，即即，整理得y=x，故选B3.解：依据题意：400克含盐15%的盐水中水的质量=400（1-15%）=340盐的质量=400×15%=60克，加了110克水后，总质量为要想使盐水浓度变成12%，则盐水的质量应该等于=60/12%=500克如果要加入盐使浓度重新变为12%，可设加入x克盐，那么由题意可得出：解得：故选D．4.解：由[m]是大于或等于m的最小整数可得[]=6．所以f（）=×（×[]+1）=×4=．5.解：由题意可得，对于函数，当x=100时，y=%=，所以。四、典例导析变式练习1、解析：由图可知，则这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为：，⑴通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元.⑵由元，所以，方案B从500分钟以后，每分钟的收费为元.⑶由图可知，当时，；当时，；当时，由得，，即当通话时间在时，方案B较方案A优惠.2、解：因为，所以⑴当，从而可知当；⑵，当t=40时，。综上可得，。答：在最近的100天内，这种商品的日销售额的最大值为。3、解：设第x个两年心脏病发病人数为y，a为第一个两年间发病人数，根据题意，得y=a(1＋2%)，显然a=815，即y=815(1＋2%)(xN*)，2023年到2023年发病人数x=2时的值，那么总计发病人数为815(1＋2%)＋815(1＋2%)≈1680(人)．五、随堂练习1、解：由题设，产量x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本，即25x≥3000+，即+5x-3000≥0，x2+50x-30000≥0，解之得x≥150或x≤-200（舍去）．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．应选C．2、解：设隔墙的长为x（0＜x＜6），矩形面积为y，，∴当x=3时，y最大．故选A．3、按复利计算储蓄利率，存入银行a万元，年利率了b%，x年后支取，本息和应为(

）A、a(1+b%)x-1万元

B、a(1+b%)x万元

C、a(1+b%)x+1万元

D、a[1+(b%)x]万元答案：B4、解：设宽为xm，则长为，记面积为m2

则，当时，，所以，所围成的面积的最大值为5、一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低36%，那么平均每年应降低成本。答案：20%

6、解：汽车离开A地的距离x（km)与时间t(h)之间的关系式是：

它的图像如图2-28(1)所示速度v(km/h)与时间th的函数关系式是:

它的图像如图2-28(2)所示。六、课后作业1、答案D2、解析：由题意得，设应提价为，则，所以，故D3、解析：设A、B两种产品的价格分别为a、b，则A提价后售价为，B降价后售价为，且A和B现在是相同的价格，则得到，售出A、B两种产品各一件比原价售出A、B两种各一件的盈亏情况为利用得，代入得，即同时售出A、B两种产品各一件此原价售出A、B两种产品各一件的盈亏情况为亏。4、解答：(1)设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而

(2)当0≤x≤40