高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试（区一等奖）

选修2-2第一章1.一、选择题1．双曲线y＝eq\f(1,x)在点(2，eq\f(1,2))的切线方程是eq\x(导学号10510109)()\f(1,4)x＋y＝0 \f(1,4)x－y＝0\f(1,4)x＋y＋1＝0 D．eq\f(1,4)x＋y－1＝0[答案]D[解析]∵y＝eq\f(1,x)的导数为y′＝－eq\f(1,x2)，∴曲线y＝eq\f(1,x)在点(2，eq\f(1,2))处的切线斜率k＝－eq\f(1,4)，∴切线方程是y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x－2)，化简得，eq\f(1,4)x＋y－1＝0，故选D.2．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝eq\x(导学号10510110)()A．0 B．3x2C．8 D．12[答案]D[解析]∵f′(x)＝3x2，∴f′(2)＝3×22＝12，故选D.3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于eq\x(导学号10510111)()A．2 B．－2C．3 D．－3[答案]A[解析]若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是eq\x(导学号10510112)()A．7米/秒 B．6米/秒C．5米/秒 D．8米/秒[答案]C[解析]v(t)＝s′(t)＝－1＋2t，∴v(3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.5．(2023·长春高二检测)曲线y＝eq\f(1,3)x3在x＝1处切线的倾斜角为eq\x(导学号10510113)()A．1 B．－eq\f(π,4)\f(π,4) D．eq\f(5π,4)[答案]C[解析]∵y＝eq\f(1,3)x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝eq\f(π,4).6．设f(x)为可导函数，且满足eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为eq\x(导学号10510114)()A．2 B．－1C．1 D．－2[答案]D[解析]由导数的定义知eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－x,x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(－x→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝eq\f(1,2)f′(1)＝－1.二、填空题7．已知①y＝f(x)，②y＝g(x)，③y＝h(x)都是路程y关于时间x的函数，且f′(x)＝1，g′(x)＝2，h′(x)＝3，则运动速度最快的是________(填序号).eq\x(导学号10510115)[答案]③[解析]由导数的几何意义知，y＝f(x)的瞬时速度为1，y＝g(x)的瞬时速度为2，y＝h(x)的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.8．若曲线y＝x3的某一切线与直线y＝12x＋6平行，则切点坐标是\x(导学号10510116)[答案](2,8)或(－2，－8)[解析]设切点坐标为(x0，xeq\o\al(3,0))，因为y′＝3x2，所以切线的斜率k＝3xeq\o\al(2,0)，又切线与直线y＝12x＋6平行，所以3xeq\o\al(2,0)＝12，解得x0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．9．(2023·泰安高二检测)若曲线y＝eq\r(x)在点P(a，eq\r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是\x(导学号10510117)[答案]4[解析]y′＝eq\f(1,2\r(x))，切线方程为y－eq\r(a)＝eq\f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0得，y＝eq\f(\r(a),2)，令y＝0得，x＝－a，由题意知eq\f(1,2)·eq\f(\r(a),2)·a＝2，∴a＝4.三、解答题10．求与曲线y＝f(x)＝eq\r(3,x2)在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程.eq\x(导学号10510118)[解析]因为y＝eq\r(3,x2)，所以y′＝(eq\r(3,x2))′＝(xeq\f(2,3))′＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,3).所以f′(8)＝eq\f(2,3)×8－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为eq\f(1,3).所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.一、选择题1．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为eq\x(导学号10510119)()\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3,3),3)\r(3) D．eq\f(\r(3,9),3)[答案]D[解析]由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3xeq\o\al(2,0)，曲线y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直，∴3xeq\o\al(2,0)·(－x0)＝－1，∴x0＝eq\f(\r(3,9),3)，故选D.2．曲线y＝eq\r(3,x)上的点P(0,0)处的切线方程为eq\x(导学号10510120)()A．y＝－x B．x＝0C．y＝0 D．不存在[答案]B[解析]∵y＝eq\r(3,x)，∴Δy＝eq\r(3,x＋Δx)－eq\r(3,x)＝eq\f(x＋Δx－x,\r(3,x＋Δx)2＋\r(3,xx＋Δx)＋\r(3,x)2)＝eq\f(Δx,\r(3,x＋Δx)2＋\r(3,xx＋Δx)＋\r(3,x)2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(3,x＋Δx)2＋\r(3,xx＋Δx)＋\r(3,x)2)，∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,3xeq\s\up6(\f(2,3))).∴曲线在点P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.二、填空题3．(2023·全国Ⅰ文，14)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝\x(导学号10510121)[答案]1[解析]因为f(x)＝ax3＋x＋1，所以f(1)＝a＋2，f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，所以在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1又因为切线过点(2,7)，所以7－(a＋2)＝(3a＋1)×(2－1)解之得a＝1.4．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq\o\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是\x(导学号10510122)[答案]21[解析]∵y′＝2x，∴在点(ak，aeq\o\al(2,k))的切线方程为y－aeq\o\al(2,k)＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝eq\f(1,2)ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝eq\f(1,2)，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.三、解答题5．已知曲线C：y＝eq\f(1,t－x)经过点P(2，－1)，求eq\x(导学号10510123)(1)曲线在点P处的切线的斜率．(2)曲线在点P处的切线的方程．(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．[解析](1)将P(2，－1)代入y＝eq\f(1,t－x)中得t＝1，∴y＝eq\f(1,1－x).∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\f(\f(1,1－x＋Δx)－\f(1,1－x),Δx)＝eq\f(1,1－x－Δx1－x)，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,1－x2)，∴曲线在点P处切线的斜率为k＝y′|x＝2＝eq\f(1,1－22)＝1.(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.(3)∵点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k＝eq\f(y0,x0)＝eq\f(1,1－x02)，由于y0＝eq\f(1,1－x0)，∴x0＝eq\f(1,2)，∴切点M(eq\f(1,2)，2)，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4(x－eq\f(1,2))，即y＝4x.6．求曲线y＝eq\f(1,x)与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.eq\x(导学号10510124)[解析]两曲线方程联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,x)，,y＝x2，))解得eq