高中数学北师大版5第一章不等关系与基本不等式 说课一等奖

第一章§3一、选择题1．如果0<a<b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A．eq\f(1,2) B．bC．2ab D．a2＋b2解析：设a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，代入可得2ab＝eq\f(4,9)，a2＋b2＝eq\f(1,9)＋eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)答案：B2．已知a，b，c为正数，则eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)有()A．最小值3 B．最大值3C．最小值2 D．最大值2解析：因为a，b，c为正数，所以eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)≥3eq\r(3,\f(a,b)·\f(b,c)·\f(c,a))＝3，最小值3.答案：A3．下列结论正确的是()A．当x>0且x≠1时，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．当x>0时，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2C．当x≥2时，x＋eq\f(1,x)的最大值为2D．当0<x≤2时，x－eq\f(1,x)无最大值解析：若0<x<1时，lgx<0，所以A错；x＋eq\f(1,x)≥2时当且仅当x＝1时取等号，因为x≥2，所以C错；因为x和－eq\f(1,x)为增函数，所以x－eq\f(1,x)为增函数，当x＝2时，x－eq\f(1,x)有最大值eq\f(3,2)，所以D错．答案：B4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建成离车站()A．5千米处 B．4千米处C．3千米处 D．2千米处解析：设仓库应建成离车站x千米处，设总费用为y，由题意得y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x.把(10,2)，(10,8)代入得k1＝20，k2＝eq\f(4,5)，∴y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8，当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(4x,5)，∴x＝5.答案：A二、填空题5．a、b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，则a＋b的最小值为________．解析：∵eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝1＋2＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，∴a＋b的最小值3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)6．若正数x、y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值________．解析：∵xy2＝4，x>0，y>0，∴x＝eq\f(4,y2).x＋2y＝eq\f(4,y2)＋2y＝eq\f(4,y2)＋y＋y≥3eq\r(3,\f(4,y2)·y·y)＝3eq\r(3,4).当且仅当x＝y＝eq\r(3,4)时，等号成立，此时x＋2y的最小值为3eq\r(3,4).答案：3eq\r(3,4)三、解答题7．设a、b∈(0，＋∞)，试比较eq\f(a＋b,2)，eq\r(ab)，eq\r(\f(a2＋b2,2))，eq\f(2ab,a＋b)的大小，并说明理由．解析：∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))，即eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(2ab,a＋b)(当且仅当a＝b时取等号)．又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(a2＋b2＋2ab,4)≤eq\f(a2＋b2＋a2＋b2,4)＝eq\f(a2＋b2,2).∴eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(当且仅当a＝b时取等号)．而eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，于是eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(当且仅当a＝b时取等号)．8．求函数y＝eq\f(1,x－3)＋x(x>3)的最小值．解析：将原式配凑成y＝eq\f(1,x－3)＋x－3＋3.∵x>3，∴x－3>0，eq\f(1,x－3)>0，∴y≥2eq\r(x－3·\f(1,x－3))＋3＝5.当且仅当eq\f(1,x－3)＝x－3，即x＝4时，y有最小值5.9．如图所示，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？解析：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则V＝(a－2x)2x＝eq\f(1,4)(a－2x)(a－2x)×4x≤eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a－2x＋a－2x＋4x,3)))3