高中数学北师大版本册总复习总复习 2023版第2章4二次函数的性质

4．2二次函数的性质1．理解二次函数的定义域、值域、单调性、对称性．(重点)2．能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质．(重点)3．会求二次函数在给定闭区间上的最大值与最小值．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质阅读教材P45～P47本节有关内容，完成下列问题.a的符号性质a>0a<0图像开口方向开口向上开口向下顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)x＝－eq\f(b,2a)单调区间在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减少的，在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增加的在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增加的，在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减少的最大值、最小值当x＝－eq\f(b,2a)时，函数取得最小值eq\f(4ac－b2,4a)；无最大值当x＝－eq\f(b,2a)时，函数取得最大值eq\f(4ac－b2,4a)；无最小值判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有最小值．()(2)二次函数y＝x2－2x＋2的对称轴为x＝－1.()(3)二次函数y＝－x2＋4x－3在区间[2，＋∞)上是增函数．()【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型]二次函数的性质已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝1，不计算函数值，求f(0)；(3)不直接计算函数值，试比较feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))的大小.【导学号：04100030】【精彩点拨】eq\x(fx＝3x2＋2x＋1)→eq\x(配方得顶点式)【尝试解答】y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(2,3).(1)顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))，对称轴是直线x＝－eq\f(1,3).(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝1，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＝eq\f(1,3)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＝eq\f(1,3)，所以结合二次函数的对称性可知f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝1.(3)由f(x)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋eq\f(2,3)知二次函数图像开口向上，且对称轴为x＝－eq\f(1,3)，所以离对称轴越近，函数值越小．又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))＜eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4))).1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h.2．比较两点函数值的大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两个点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．[再练一题]1．已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax，分别在下列条件下求实数a的取值(范围)．(1)f(x)在(－∞，2)上是增函数；(2)f(x)的递增区间为(－∞，2)．【解】∵函数f(x)＝－(x－a)2＋a2的图像开口向下，对称轴为x＝a，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，a]．(1)由题意知(－∞，2)⊆(－∞，a]，∴a≥2，即实数a的取值范围是[2，＋∞)．(2)由题意知，对称轴x＝a＝2，即实数a的取值为2.二次函数的实际应用某企业生产一种电器的固定成本(即固定投资)为万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系用抛物线段表示，如图2­4­2.图2­4­2(年产量与销售量的单位：百台；纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和万元)(1)写出如图的销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与去年生产量的函数关系式，并求去年生产量是多少时纯收益最大．【精彩点拨】解答本题可先由图求出销售收入与销售量之间的函数关系式，即R＝f(t)，然后建立纯收益与销售量之间的函数关系式，进而求出纯收益的最大值．【尝试解答】(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋eq\f(25,2)，由t＝0时，R＝0得a＝－eq\f(1,2).∴R＝－eq\f(1,2)(t－5)2＋eq\f(25,2)(0≤t≤5)．(2)年纯收益y＝－eq\f(1,2)t2＋5t－－eq\f(1,4)t＝－eq\f(1,2)t2＋eq\f(19,4)t－，故t＝eq\f(19,4)＝时，y取得最大值为万元．故年产量为475台，纯收益取得最大值为万元．求解实际问题“四部曲”：读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系目标与条件的关系.2建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题.3求解：选择合适的数学方法求解函数.4评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测.也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤.[再练一题]2．某工厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元，若生产该产品900千克，求该工厂获得的最大利润，以及此时的生产速度是多少？【解】设利润为y元，则y＝100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))·eq\f(900,x)＝9×104eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))＝9×104eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋\f(61,12)))，∴当x＝6时，函数有最大值，最大值为×105元．∴该工厂获得的最大利润为×105元，此时的生产速度为6千克/小时．[探究共研型]二次函数的值域(最值)探究1求二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[－2,0]上的最值．【提示】由f(x)＝(x－1)2＋2知抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴f(x)在[－2,0]上单调递减，∴当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.探究2求探究1中函数f(x)在[－2,3]上的最值．【提示】当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，又|－2－1|＞|3－1|，∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.求探究1中函数f(x)在[t，t＋1]的最小值g(t)．【精彩点拨】可分析x＝1与区间[t，t＋1]的关系，就x＝1是否落在区间[t，t＋1]内展开讨论．【尝试解答】①当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在区间[t，t＋1]上先减后增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2.③当t＋1＜1，即t＜0时，f(t)在[t，t＋1]上单调递减，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2.综上得g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t＋3，t＞1，,2，0≤t≤1，,t2＋2，t＜0.))求二次函数fx＝ax2＋bx＋ca＞0在[m，n]上的最值的步骤：1配方，找对称轴.2判断对称轴与区间的关系.3求最值.若对称轴在区间外，则fx在[m，n]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得.[再练一题]3．求探究1中函数f(x)在[t，t＋1]上的最大值h(t)．【解】①当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最大值f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋3＝t2＋2.②当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≤1≤t＋1，,1－t≤t＋1－1，))即eq\f(1,2)≤t≤1时，f(x)在[t，t＋1]上先减后增，且对称轴更靠近于端点t，此时当x＝t＋1时，f(x)取得最大值f(t＋1)＝t2＋2.③当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≤1≤t＋1，,1－t＞t＋1－1，))即0≤t＜eq\f(1,2)时，f(x)在[t，t＋1]上先减后增，且对称轴更靠近于端点t＋1，此时当x＝t时，f(x)取得最大值f(t)＝t2－2t＋3.④当t＋1＜1，即t＜0时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，所以当x＝t时，f(x)取得最大值f(t)＝t2－2t＋3.综上，h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2＋2，t≥\f(1,2)，,t2－2t＋3，t＜\f(1,2).))1.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1【解析】函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－eq\f(m,2)，且只有一条对称轴，所以－eq\f(m,2)＝1，即m＝－2.【答案】A2.下列区间中，使函数y＝－2x2＋x为增函数的是()A．R B．[2，＋∞)\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))【解析】函数y＝－2x2＋x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2＋eq\f(1,8)的对称轴是直线x＝eq\f(1,4)，图像开口向下，所以函数值在对称轴x＝eq\f(1,4)的左边是增加的．【答案】D3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足a＋b＋c＝0，则其图像一定过点________.【导学号：04100031】【解析】∵a＋b＋c＝0，∴f(1)＝0，∴二次函数的图像过点(1,0)．【答案】(1,0)4．抛物线y＝2x2－x－1的顶点坐标是________．【解析】∵y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2－eq\f(9,8)，∴抛物线的顶点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－\f(9,8))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)